柯西准则及其应用摘 要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，即设函数()f x 在00(;)U x δ'内有定义，00()lim x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ，都有()()f x f x '''-<ε．事实上，当0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞，x →∞五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．1 柯西准则的其它五种形式定理1.1 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义．00()lim x x f x +→存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，均有()()f x f x '''-<ε．证 必要性 设0()lim x x f x A +→=，则对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对00(;)x U x δ+∀∈，有()2f x A ε-<．于是对00(;)x x U x δ+'''∀∈，，有充分性 设数列{}00(;)n x U x δ+⊂且0lim n n x x →∞=，按假设，对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，有()()f x f x ε'''-<．由于0()n x x n →→∞，对上述的δ>0，存在N >0，使得当n m ，>N 时有00(;)n m x x U x δ+∈， 从而有()()n m f x f x ε-<．于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设另一数列{}00(;)n y U x δ+'⊂且0lim n n y x →∞=，则如上所证，()lim n n f y →∞存在，记为B ．现证B A =，为此，考虑数列易见{}n z ⊂00(;)U x δ+'且0lim n n z x →∞=，故仍如上面所证，{}()n f z 也收敛．于是，作为{}()n f z 的两个子列，{}()n f x 与{}()n f y 必有相同的极限，所以由归结原则推得0()lim x x f x A +→=．证毕定理1.2 设函数f 在00(;)U x δ-'内有定义．00()lim x x f x -→存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ-，均有()()f x f x '''-<ε．以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．证 充分性 设数列{}n a 满足柯西条件，先证明{}n a 是有界的．为此，取ε=1，则存 正整数N ，当1m N =+及n N >时有 由此得111111n n N N n N N N a a a a a a a a +++++=-+≤-+<+．令则对一切正整数n 均有n a M ≤．于是，由致密性定理可知，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设lim k n k a A →∞=．对任给的0ε>，存在0K >，当m n k K >，，时，同时有2n m a a ε-<(由柯西条件)，2k n a A ε-<（由lim k n k a A →∞=）．因而当取()k m n k K =≥>时，得到22k k n n n n a A a a a A εεε-≤-+-<+=．这就证明了lim n n a A →∞=．有归结原则：0lim ()x x f x A -→=⇔对任何0()n x x n →→∞有lim ()n n f x A →∞=．充分性即证．必要性 设lim n n a A →∞=．有数列极限定义，对任给的0ε>，存在0N >当m n N >，时有因而22m n m n a a a A a A εεε-≤-+-<+=．由归结原理知，即可证得．证毕注 归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．定理1.3 充分大的M >0，设函数f 在()U +∞内有定义．()lim x f x →+∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何x '>1M ，x ''>1M ，均有()()f x f x '''-<ε．证 先证必要性．设()lim x f x A →+∞=，按照定义，0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，()2f x A ε'-<，()2f x A ε''-<． 于是()()f x f x '''-≤()f x A '-+()f x A ''-<ε．再证充分性．设0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，()()f x f x '''-<ε．任意选取数列{}n x ，lim n n x →∞=+∞．则对上述10M >，10n m N n m N x x M ∃>∀>>，，，，．有()()n m f x f x ε-<．这说明函数值数列{}()n f x 是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知()lim x f x →+∞存在而且有极限．证毕注 上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义 如果数列{}n x 具有以下特征：0ε∀>，0N n m N ∃>∀>，， 则称数列是一个基本数列．定理1.4 充分大的M >0，设函数f 在()U -∞内有定义．()lim x f x →-∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何x '<1M -，x ''<1M -，均有()()f x f x '''-<ε．证 必要性 设()lim x f x A →-∞=，则对任给的0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x M <-有()2f x A ε-<．于是对任何1x x M '''<-，有充分性 设数列{}n x (]1,M ⊂-∞-且lim n n x →∞=-∞．按假设，对任给的0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x x M '''<-，，有()()f x f x ε'''-<．由于()n x n →-∞→∞，对上述的10M >，存在0N >使得当n m N >，时有1n m x x M <-，，从而有于是，按数列的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞=．设另一数列{}(],n y M ⊂-∞-且lim n n y →∞=-∞，则如上所证，()lim n n f y →∞存在，记为B ．现证B A =，为此，考虑数列易见{}(],n z M ⊂-∞-且lim n n z →∞=-∞，故仍如上面所证，()lim n n f z →∞也收敛．于是，作为{}()n f z 的两个子列，{}()n f x 与{}()n f y 必有相同的极限，所以由归结原则推得()limx f x A →-∞=． 证毕定理1.5 充分大的M >0，设函数f 在()U ∞内有定义．()lim x f x →∞存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何1x x M '''>，，均有()()f x f x '''-<ε．定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明． 2 归纳柯西准则在数学分析中的应用． 2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架．作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理．2.1.1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证 设S 为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数ακ，使得ααλκα=为S 的上界，而(1)ααλακα-=-不是S 的上界，即存在S α'∈，使得(1)αακα'>-．分别取112n nα==，，，，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a nλ'>-． （1）又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有m a λ'≥．结合（1）式得1n m n λλ-<；同理有1m n mλλ-<．从而得11max(,)m n m nλλ-<．于是，对任给的0ε>，存在0N >，使得当m n N >，时有m n λλ-<ε．由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛．记lim n n λλ→∞=． （2）现在证明λ就是S 的上确界．首先，对任何a S ∈和正整数n 有n a λ≤，由(2)式得a λ≤，即λ是S 的一个上界．其次，对任何0δ>，由10()n n→→∞及(2)式，对充分大的n 同时有 122n n δδλλ<>-，． 又因1n n λ-不是S 的上界，故存在a S '∈，使得1n a nλ'>-．结合上式得22a δδλλδ'>--=-．这说明λ为S 的上确界．同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界． 2.1.2 用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证 在闭域套{}n D 的每一个闭域n D 内任取一点n P ，构成一个各点各不相同的平面点列{}n P ，则对一切自然数P ，由于n p n D D +⊂，以1,,0(,)0()n n p n n n n P P D P P d n ρ++∈<≤→→∞，因此(,)0lim n n p n p p ρ+→∞=．由定义任给0ε>，存在正整数N ，使得当n N >时，对一切自然数P ，都有(,)n n p p p ρε+<，根据柯西准则{}n P 收敛，记0lim n n P P →∞=．现证012n P D n ∈=，，，，为此任意取定n ，则因为对一切自然数12p =，，，都有0l i m n p n p n n pp P D D P P +++→∞∈⊂=，，由定义知0P 是n D 的聚点，而闭域n D 必为闭集，所以它的聚点012n P D n ∈=，，，，最后证明0P 的唯一性，若还有012n P D n '∈=，，，，则由于10(,)0()n n n P P d n ρ+≤≤→→∞．，所以0000(,)0P P P P ρ''==，．2.2 柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出． 2.2.1 柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列{}n a 收敛0N N m n N ε'⇔∀>∃∈∀>，，，有m n a a ε-<． 数列{}n a 发散00N N m n N ε'''⇔∃>∀∈∃>，，，，使得0m n a a ε''-≥．例1 应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛证 对0ε∀>，取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则对n m N ∀≥>，有而由2m ε>知2mε<，故n m a a ε-<，由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛． 2.2.2 柯西准则在函数极限存在性判定中的应用0()lim x x f x →不存在的充要条件是：00ε∃>，对0δ∀>，都存在x '，x ''∈00(;)U x δ，使得0()()f x f x ε'''-≥．例2 证明极限01sin lim x x→不存在．证 可取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令则有0(0;)x x U δ'''∈，，而011sinsin 1x x ε-=='''．于是按照柯西准则，极限01sin lim x x→不存在．2.2.3 柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用 因为无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性是由变上限函数()lim ta t f t dt →+∞⎰存在与否确定的．因此，可由函数极限()lim x f x →+∞存在的柯西准则导出无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的柯西准则：无穷积分()af x dx +∞⎰收敛120G a u u G ε⇔∀>∃≥∀>，，，有同理，由函数极限0()lim t t f x →存在的柯西准则可直接推出瑕积分()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛的柯西准则：瑕积分()ba f x dx ⎰（a 为瑕点）收敛()1200,u u a a εδδ⇔∀>∃>∀∈+，，，有例3 设()f x 在[)0,+∞上连续可微，并且20()f x dx +∞<+∞⎰．如果()f x C '≤(当0x >时)，其中C 为一常数．试证：()0lim x f x →+∞=．证 （反证）假设()0lim x f x →+∞≠，则00ε∃>，使对0G ∀>，总有A x G >，()A f x ε≥０．因为()f x 在[)0,+∞上连续可微，()f x c '≤．故f 在[)0,+∞上一致连续，于是0δ∃>，使当[)0,x x x x δ''''''∈+∞-<，，时，又因20()f x dx +∞⎰收敛，故0M ∃>时，当12x x M >，时，2120()2x x f x dx εδ<⎰，对该M ，存在0x ，故00(,)(,)x x M δδ-+⊂+∞，0()f x ε≥０当00(,)x x x δδ∈-+时 0()()2f x f x ε-<０．20()4f x ε∴≥．00200()242x x f x dx δδεεδδ+-∴≥⋅=⎰矛盾．()0lim x f x →+∞∴=．2.2.4 柯西准则在级数收敛性判定中的应用因为级数1n n u =∑的敛散性是由其前n 项和数列{}1n n k k S u =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑的敛散性确定的．所以，由{}n S 收敛的柯西准则直接可得级数1n n u ∞=∑收敛的柯西准则：1nn u∞=∑收敛0N N m N p N ε''⇔∀>∃∈>∀∈，，，有例 4 级数1nn a∞=∑收敛的充要条件是：对任意的正整数序列12n r r r ，，，，都有12()0lim n n n n r n a a a +++→∞+++=．证 必要性 因为1n n a ∞=∑收敛，所以对当,N N n N '∃∈>及p N '∀∈有特别地12n n n n r a a a ε++++++<．所以12()0lim n n n n r n a a a +++→+∞+++=．充分性 用反证法．若1n n a ∞=∑发散，则000N n N ε∃>∀>∃>，，及自然数p ，使特别1111N n =∃>，及自然数1r 使{}2122max 2N n n N =∃>，，，及自然数2r ，使 这与12()0lim n n n n r n a a a +++→+∞+++=矛盾．所以级数1n n a ∞=∑是收敛的．例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n ∑收敛． 证 由于因此，对任给0ε>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，使当m N >及对任意正整数p ，由上式就有121m m m p u u u mε++++++<<． 依级数收敛的柯西准则推得级数21n∑是收敛的． 2.2.5 柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用 由数列收敛的柯西准则易推得函数列{}()n f x 一致收敛的柯西准则： 函数列{}()n f x 在D 上一致收敛0N N m n N x D ε'∀>∃∈∀>∀∈，，，，有又因为函数项级数1()n n f x ∞=∑的一致收敛性是由其部分和函数列{}1()()n n k k S x f x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑的一致收敛性确定的．所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则：1()nn fx ∞=∑在D 上一致收敛0N N ε'⇔∀>∃∈，， 当n N >时，p N x D '∀∈∀∈，有12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<．进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法．例6 证明：若对0n n N a x I '∀∈∃>∀∈，，，有1()()n n n f x f x a +-≤且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{}()n f x 在区间上一致收敛．证 n p N x I '∀∈∀∈，，，因为1n n a ∞=∑收敛，故有0N N n N p N ε''∀>∃∈∀>∀∈，，，0N N n N p N x I ε''∀>∃∈∀>∀∈∀∈，，，，有1n p n a a ε+-=++<．所以函数列{}()n f x 在区间上一致收敛．例7 设()(1,2,)n u x n =是[],a b 上的单调函数，证明：若()n u a ∑与()n u b ∑都绝对收敛，则()n u x ∑在[],a b 上绝对且一致收敛．证 因为()n u a ∑与()n u b ∑绝对收敛⇒对0N N ε+∀>∃∈，，当n N >时，对p N +∀∈有12()()()n n n p u a u a u a ε++++++<． 12()()()n n n p u b u b u b ε++++++<．又因为()(1,2,)n u x n =是[],a b 上的单调函数，所以对[],x a b ∀∈．有()()()n n n u a u x u b ≤≤ 或()()()n n n u a u x u b ≥≥．由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数()n u x ∑在[],a b 上绝对且一致收敛．柯西准则的优越性柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都有内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易懂．它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见．在数学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要．参考文献[1] 责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版 [2] 崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期 [3] 王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期 [4] 陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998年，第19卷，第6期[5] 薛怀玉，2R 上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6期[6] 钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版[7] 刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版 [8] 陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版Cauchy criterion and its applicationAbstract: The Cauchy criterion is one of the six theorems which is about the completeness of real numbers. it is the foundation of the limit. Throughout the course of mathematical analysis, its application has always been. In general, During the curriculum materials of the mathematical analysis, when it discusses the Cauchy criterion, only a situation that 0x x is discussed. This article will supply proofs of the other five cases of the Cauchy criterion of the limits of function. At the same time, it will discuss and sum the flexibility application of Cauchy criterion in the limits, the series , Points and so on.Keywords: Cauchy criterion; applications; limit exists; superiority。