四川省南充高中2020年“科技冬令营”初三数学试题（一）（时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.计算++++…+的结果是（ B ） A ．B ．C ．D ．2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为( D )3.如图，若x 为正整数，则表示﹣的值的点落在（ B ）A ．段①B ．段①C ．段①D ．段①4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 、EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ．若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（ B ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6．若点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ C ）A ．1B ．32C ．2D ．46.关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1、x 2，若(x 1−x 2+2)(x 1−x 2−2)+2x 1x 2=−3，则k 的值（ D ） A ．0或2B ．﹣2或2C ．﹣2D ．27.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 从点E 出发，沿E →A →D →C 移动至终点C ，设P 点经过的路径长为x ，△CPE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ C ）A B C D8.如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是（异于A.B ）上两点，C 是上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ A ） A ．B ．C ．D ．9. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m 、n 的值为（ D ）A ．m ＝57，n ＝－187B ．m ＝5，n ＝－6C ．m ＝－1，n ＝6D ．m ＝1，n ＝－210. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +BD 的最小值是（ B ） A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题（每小题6分，共36分） 11.如果不等式组的解集是x ＜a ﹣4，则a 的取值范围是 a ≥−3 ．12.若2x 2−6y 2+xy +kx +6能分解成两个一次因式的积，则整数k= ±7 .13.已知直线1l ：5y +-=x 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ；直线2l ：52y +=x 经过点B ，交x 轴于点C ，过点D （0，-1）的直线b kx +=y 分别交1l 、2l 于点E 、F ，若△BDE 与△BDF 的面积相等，则k= 12 .14.如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C.D 两点的⊙O 分别交A C.BC 于点E.F ，AD ＝，∠ADC ＝60°，则劣弧的长为π ．15.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，点E 为AD 边上一点，连接B D.CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若AB ＝8，CE ＝6，则BC 的长为 2 ．16.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x 轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线y ＝x +上，且∠C 1OA 1＝∠C 2A 1A 2＝∠C 3A 2A 3＝…＝60°，OA 1＝1，则点C 6的坐标是 （97，32） ．三、解答题（17题、18题每小题8分，19题至22题每小题12分，共64分） 17.（﹣2）﹣1﹣+cos 60°+（）0+82019×（﹣0.125）2019．（8分）解：原式＝﹣﹣3++1+（﹣0.125×8）2019 ＝﹣3+﹣1＝﹣3．18.关于x 的方程2x−2+x+m 2−x=2的解为正数，且关于y 的不等式组{y −2≥my −m ≤2(m +2)有解，求符合题意的整数m.（8分） 解：解分式方程得：x =6−m 3∵ x 为正数∴{6−m3>06−m3≠2解得m <6且m ≠0由不等式组有解得：3m +4≥m +2∴m≥−1∴ 整数m的值是-1或1或2或3或4或519.某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？解：（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，解得x＝15，经检验x＝15时方程的解，∴每袋小红旗为15+5＝20元；答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；……………………..4分（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b＝2：1，解得b＝a，答：购买小红旗a袋恰好配套；………………………………………………7分（3）如果没有折扣，则W＝15a+20×a＝40a，依题意得40a≤800，解得a≤20, ………………………………………………………………….9分当a＞20时，则W＝800+0.8（40a﹣800）＝32a+160，即W＝，……………………………………………….11分国旗贴纸需要：1200×2＝2400张，小红旗需要：1200×1＝1200面，则a＝＝48袋，b＝＝60袋，总费用W＝32×48+160＝1696元．…………………………………………….12分20. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；…………………………………………………..2分（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；………………………………………………..6分②当∠DHT＝90°时，如图1所示，设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），由点T是点D，E的融合点得：m＝，解得：m＝，即点E（，6）；………………………………………………..8分当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；………………………………………10分当∠HTD＝90°时，该情况不存在；……………………………………………………11分故点E（，6）或（6，15）．…………………………………………………………..12分21.已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）①解：旋转角为105°．………………………………………………..3分②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，……………………………………………………………5分∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，……………………………………………………………6分∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．…………………………………………………8分（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．………………………………………………….12分22.已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．…………………………………………….…………….3分（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．…………5分②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5………………………………………………………..7分③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△AEF∽△BCE∴＝＝，∴EB＝AD＝，………………………………………………8分答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，P B．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，……………………………………9分∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，………………………..10分观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．…….12分。