探究点一 向量的概念和几何表示
我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们 把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没 有方向的量称为数量. 例如，已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；
⑧重力；⑨路程；⑩密度. 其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦பைடு நூலகம்.
反思与感悟 对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、
理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一 反例即可.
跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
小结
在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解
答问题时，一定要看清题目中是 “零向量”还是“非 零向量”.
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若
→ → AB＝DC， ABCD中，一定有 ③在平行四边形
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答
联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不
能比较大小，数量无方向且能比较大小 .向量可以用有向线段表 示，也可以用字母符号表示 . 用表示向量的有向线段的长度表示 向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模).记作| |有向线段 箭头表示向量的方向 . →
思考3
若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，
若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备
传递性吗？ 答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与
b相等，则向量a与b平行(或共线).
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c， 这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有 a∥b，b∥c⇒a∥c.
及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
填要点·记疑点
1.向量 既有 大小 ，又有 方向 的量叫做向量. 2.向量的几何表示 以A为起点、B为终点的有向线段记作 3.向量的有关概念 .
(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作
→ AB
.
(2)单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量.
AB
→ AB
→ AB
→ AB
思考2 向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？ 答 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数. 思考3 向量与有向线段有什么区别？
答
向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方
向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的 工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小 和方向相同，也是不同的有向线段.
则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
→ ④若向量a与任一向量b平行，则a＝ 0； →
AB＝DC；
解 ②
两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相 A 、 B 、 C 、 D 四点可能在同一条直线上，故②不
反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.
→ → AB 正确 . ＝DC，
向相同，故
由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量
也叫做共线向量 . 也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行 和共线相混淆.
思考2 如果非零向量
是否一定共线？ 答
→ → 是共线向量，那么点A、B、C、D AB与CD
点A、B、C、D不一定共线.
0 1
0
(3)相等向量： 长度相等且方向相同 的向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量)：方向 相同或相反 的 非零 向量叫做平行 向量，也叫共线向量. ①记法：向量a平行于向量b，记作 .
②规定：零向量与 任一向量
平行. a∥b
探要点·究所然 情境导学
回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本 书 …… 中抽象出只有大小的数量 “1” ，类似地，我们 可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行 抽象，形成一种新的量，即向量.
③在平行四边形ABCD中，
③正确 →.
与平行且方
→ → → |AB|＝|DC|，AB与DC
→ → AB＝DC，
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.
⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方
向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确. 若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立； b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.
等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.
小结
研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不
可忽略其中任何一个要素 . 对于初学者来讲，由于向量是一个相 对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错. 思考3 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一
点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？ 答 单位圆.
探究点二 几个向量概念的理解
思考1 向量？ 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么
答
长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.
满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相
长度(或模)为1的向量叫做单位向量. 思考2 答 等向量吗？ 长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相
探究点三 平行向量与共线向量 思考1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向
量的方向有什么关系？ 答 方向相同或相反.
小结
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 . 向量 a 、b 平行，
通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有0∥a.
a、b、c 是一组平行向量，任作一条与 a 所在直线平行的直线 l，在 → → → l 上任取一点 O，则可在 l 上分别作出OA＝a，OB＝b，OC＝c.
第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景
及基本概念
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌 握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的 联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量