355 附录2 线性规划案例 Appendix 2 Projects of Linear Programming
案例1 食油生产问题(1) 食油厂精炼两种类型的原料油——硬质油和软质油，并将精制油混合得到一种食油产品。硬质原料油来自两个产地:产地1和产地2，而软质原料油来自另外三个产地：产地3，产地4和产地5。据预测，这5种原料油的价格从一至六月分别为： 表1 原料油的价格（元/吨） 硬质1 硬质2 软质3 软质4 软质5 一月 110 120 130 110 115
二月 130 130 110 90 115
三月 110 140 130 100 95
四月 120 110 120 120 125
五月 100 120 150 110 105
六月 90 110 140 80 135
产品油售价为200元/吨。 硬质油和软质油需要由不同的生产线来精炼。硬质油生产线的每月最大处理能力为200吨，软质油生产线最大处理能力为250吨/月。五种原料油都备有贮罐，每个贮罐的容量均为1000吨，每吨原料油每月的存贮费用为5元。而各种精制油以及产品无油罐可存贮。精炼的加工费用可略去不计。产品的销售没有任何问题。
产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。产品食油的硬度与各种成份的硬度以及所占比例成线性关系。根据技术要求，产品食油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0。各种原料油的硬度如下表（精制过程不会影响硬度）： 附录1 线性规划案例 356 表2 各种原料油的硬度（无量纲） 硬质1 硬质2 软质3 软质4 软质5 8.8 6.1 2.0 4.2 5.0
假设在一月初，每种原料油都有500吨存贮而要求在六月底仍保持这样的贮备。 问题1：根据表1预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。
问题2：考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果二月份硬质原料油价格比表1中的数字上涨Ｘ％，则软质油在二月份的价格将比表1中的数字上涨2Ｘ％，相应地，三月份，硬质原料油将上涨2Ｘ％，软质原料油将上涨4Ｘ％，依此类推至六月份。试分析Ｘ从1到20的各情况下，利润将如何变化？
案例2 食油生产问题（2） 在案例1中，附加以下条件，求解新的问题： 1.每一个月所用的原料油不多于三种。 2.如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于20吨。 3.如果在一个月中用了硬质油1或硬质油2，则在这个月中就必须用软质油5。
案例3 机械产品生产计划问题 机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。 表3 产品的利润（元/件）和需要的设备工时（小时/件） 产品 1 2 3 4 5 6 7
单位产品利润 10.00 6.00 3.00 4.00 1.00 9.00 3.00
磨 床 0.50 0.70 -- -- 0.30 0.20 0.50
立 钻 0.10 2.00 -- 0.30 -- 0.6 --
水 平 钻 0.20 6.00 0.80 -- -- -- 0.60
镗 床 0.05 0.03 -- 0.07 0.10 -- 0.08
刨 床 -- -- 0.01 -- 0.05 -- 0.05 附录1 线性规划案例 357 从一月份至六月份，每个月中需要检修的设备是（在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产）：
表4 设备检修计划 月份 计划检修设备及台数 月份 计划检修设备及台数 一月 一台磨床 四月 一台立式钻床 二月 二台立式钻床 五月 一台磨床和一台立式钻床 三月 一台镗床 六月 一台刨床和一台水平钻床 每个月各种产品的市场销售量的上限是： 表5 产品的市场销售量上限（件/月） 产品 1 2 3 4 5 6 7
一月 500 1000 300 300 800 200 100
二月 600 500 200 0 400 300 150
三月 300 600 0 0 500 400 100
四月 200 300 400 500 200 0 100
五月 0 100 500 100 1000 300 0
六月 500 500 100 300 1100 500 60
每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月0.5元，在一月初，所有产品都没有库存；而要求在六月底，每种产品都有50件库存。工厂每天开两班，每班8小时，为简单起见，假定每月都工作24天。
生产过程中，各种工序没有先后次序的要求。 问题1：制定六个月的生产、库存、销售计划，使六个月的总利润最大。 问题2：在不改变以上计划的前提下，哪几个月中哪些产品的售价可以提高以达到增加利润的目的。价格提高的幅度是多大？
问题3：哪些设备的能力应该增加？请列出购置新设备的优先顺序。 问题4：是否可以通过调整现有设备的检修计划来提高利润？提出一个新的设备检修计划，使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。
案例4 最优设备检修计划问题 对案例3中的生产计划问题。构造一个最优设备检修计划模型，使在这半年中附录1 线性规划案例 358 各设备的检修台数满足案例3中的要求而使利润为最大。 案例5 人力计划问题 一个公司需要以下三类人员：不熟练工人、半熟练工人和熟练工人。据估计，当前以及以后三年需要的各类人员的人数如下表： 表6 当前已有的各类人员数量及后三年需要的数量（人） 不熟练 半熟练 熟练 当前拥有 2000 1500 1000
第一年 1000 1400 1000
第二年 500 2000 1500
第三年 0 2500 2000
为满足以上人力需要，该公司考虑以下四种途径： 1、招聘工人 2、培训工人 3、辞退多余人员 4、用短工 每年都有自然离职的人员。在招聘的工人中，第一年离职的人数特别多，工作一年以上再离职的人数就很少了。离职人数的比例如下表： 表7 离职的人数比例 不熟练 半熟练 熟练 工作不到一年 25％ 20％ 10％ 工作一年以上 10％ 5％ 5％
当前没有招工，现有的工人都已工作一年以上。 1.招工。假定每年可以招聘的工作数量有一定的限制，如下表所示： 表8 每年招工人数限制（人） 不熟练 半熟练 熟练 500 800 500 2.培训。每年最多可以将200个不熟练工人培训成半熟练工。每人每年的培训费是400元，每年将半熟练工培训成熟练工的人数不能超过该年初熟练工人的四分附录1 线性规划案例 359 之一，培训半熟练工人成为熟练工人的费用是每人500元。 公司可以把工人降等使用（即让熟练工去做半熟练工或不熟练工的工作等等），虽然这样公司不需要支付额外的费用，但被降等使用的工人中有50％会放弃工作而离去（以上所说的自然离职不包括这种情况）。
3.辞退多余人员。辞退一个多余的不熟练工人要付给他200元，而辞退一个半熟练工人或熟练工人要付给他500元。
4.额外招工。该公司总共可以额外招聘150人，对于每个额外招聘的人员，公司要付给他额外的费用如下表： 表9 额外招工的附加费用（元/人年） 不熟练 半熟练 熟练 1500 2000 3000 5.用短工。对每类人员，最多可招收50名短工，每个工的费用为 表10 短工的费用（元/人年） 不熟练 半熟练 熟练 500 400 400 每个短工的工作量相当于正常工作的一半。 问题1：如果公司的目标是尽量减少辞退人员。试提出相应的招工和培训计划。 问题2：如果公司的政策是尽量减少费用，这样额外的费用与上面的政策相比，可以减少多少？而辞退的人员将会增加多少？
案例6 炼油厂的优化问题 炼油厂购买两种原油（原油1和原油2），这些原油经过四道工序处理：分馏、重整、裂化和调和，得到油和煤油用于销售。
1、分馏 分馏将每一种原油根据沸点不同分解为轻石脑油、中石脑油、重石脑油、轻油、重油和残油。轻、中、重石脑油的辛烷值分别是90、80和70，每桶原油可以产生的各种油分如下表： 表11 原油分馏得到的油分（桶/桶） 附录1 线性规划案例 360 轻石脑油 中石脑油 重石脑油 轻 油 重油 残油 原油1 0.10 0.20 0.20 0.12 0.20 0.13
原油2 0.15 0.25 0.18 0.08 0.19 0.12
在分馏过程中有少量损耗。 2、重整 石脑油可以直接用来调合成不同等级的汽油，也可以进入重整过程。重整过程产生辛烷值为115的重整汽油，不同的石脑油经过重整可以得到的重整汽油为： 表12 石脑油经过重整后提到的重整汽油（桶/桶） 轻石脑油 中石脑油 重石脑油 重整汽油 0.6 0.52 0.45
3、裂化 轻油和重油可以直接经调合产生航空煤油，也可以经过催化裂化过程而产生裂化油和裂化汽油，裂化汽油的辛烷值为105，轻油和重油裂化产生的产品如下： 表13 轻油重油裂化产生的产品（桶/桶） 裂化油 裂化汽油 轻油 0.68 0.28
重油 0.75 0.20
裂化油可以用于调合成煤油和航空煤油，裂化汽油可用于调合或汽油。残油可以用来生产润滑油或者用于调合成航空煤油或煤油，一桶残油可以产生5.5桶润滑油。
4、调合 (1)汽油(发动机燃料) 有两种类型的汽油，普通汽油和高级汽油,这两种汽油都可以用石脑油、重整汽油和裂化汽油调合得到。普通汽油的辛烷值必须不低于84，而高级汽油的辛烷值必须不低于94，我们假定，调合成的汽油的辛烷值与各成份的辛烷值及含量成线性关系。
(2)航空煤油 航空煤油可以用汽油、重油、裂化油和残油调合而成。航空煤油的蒸汽压必须不超过每平方厘米1公斤，而轻油、重油、裂化油和残油的蒸汽压如表13。