第十节 二项分布、超几何分布、正态分布知识梳理一、独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 二、二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k，其中k ＝0,1，…，n ，q ＝1－p .为参数，p 叫成功概率．令k ＝0得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为P (ξ＝0)＝C 0n p 0(1－p )n＝(1－p )n.令k ＝n 得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为P (ξ＝n )＝C n n p n (1－p )0＝p n.,三、超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件“X ＝k ”发生的概率为P (X ＝k )＝C k M ·C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *X 服从超几何分布．四、正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，σ＞0，x ∈(－∞，＋∞)其中π是圆周率，e 是自然对数的底，x 是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差． 正态分布一般记为N (μ，σ2)．1.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.五、正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，实数μ和σ(σ>0)为参数，其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．标准正态曲线：当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f (x )＝12πe －x 22，x ∈(－∞，＋∞)其相应的曲线称为标准正态曲线．六、正态分布如果对于任何实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝baφμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布，参数μ表示随机变量X 的均值，参数σ表示随机变量X 的标准差，记作X ～N (μ，σ2)，其中N (0,1)称为标准正态分布．正态分布N (μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布． 标准正态总体N (0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位．七、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个基本概率值) P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.八、3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0. 002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方法的基本思想．九、几个重要分布的期望和方差1．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－ p )． 2．若X ～B (n, p ), 则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．3．若X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N ，则E (X )＝M N n, D (X )＝nM N ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N N －nN －1.基础自测1．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53 C ．5 D ．3解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，且P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)， 所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，所以3a ＝7，所以a ＝73，故选A.答案：A2．正态总体N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则( ) A ．P 1＞P 2 B ．P 1＜P 2 C ．P 1＝P 2 D ．不确定解析：根据正态曲线的特点知，关于x ＝0对称，即在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等．故选C.答案：C3．在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为________________．解析：X 服从超几何分布．答案：P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 95C 3100(k ＝0,1,2,3)4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ解析：由题意可知：P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310.答案：110 35 3101．(2012·新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．解析：(法一)设该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.因为P (A )＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58，所以P (A )＝1－P (A －)＝38.(法二)设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000,502)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×12＋12×12×12＝38. 答案：382．(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫350×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×15＝4125；P (X ＝1)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫351×⎝ ⎛⎭⎪⎫251×15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×45＝28125；P (X ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫250×15＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351×⎝ ⎛⎭⎪⎫251×45＝57125；P (X ＝3)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫250×45＝36125.所以X所以E (X )＝0×4125＋1×125＋2×125＋3×125＝2.1．若 ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为 ( )A ．3×2－2B ．3×2－10C ．2－4D ．2－8解析：因ξ服从二项分布，所以E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝n p (1－p )＝3，解得p ＝12，n＝12.∴P (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3×2－10.故选B.答案：B2．(2013·江门一模)春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m 元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m 元的奖金．假设顾客每次抽奖中获得的概率都是13，请问：商场将奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？解析：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有C 38种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 36种．所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P (A )＝1－C 36C 38＝914.(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m,3m,6m .(单元：元)ξ＝0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827，同理，P (ξ＝m )＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝49，P (ξ＝3m )＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (ξ＝6m )＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127， 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E (ξ)＝0×827＋m ×49＋3m ×29＋6m ×127＝43m .由43m ≤100，解得m ≤75，所以故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利．。