江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试高等数学试题卷（二年级）注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟．一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、极限=+∞→)3sin 1sin 2(lim xxxx x () A.0B.2C.3D.5 2、设)4(sin )2()(2--=x x xx x f ,则函数)(x f 的第一类间断点的个数为()A.0B.1C.2D.33、设232152)(x x x f -=，则函数)(x f () A.只有一个最大值B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值 4、设yx z 3)2ln(+=在点)1,1(处的全微分为() A.dy dx 3- B.dy dx 3+ C.dy dx 321+ D.dy dx 321- 5、二次积分dx y x f dy y),(101⎰⎰ 在极坐标系下可化为()A.ρθρθρθπθd f d )sin ,cos (40sec 0⎰⎰ B.ρρθρθρθπθd f d )sin ,cos (40sec 0⎰⎰C.ρθρθρθππθd f d )sin ,cos (24sec 0⎰⎰ D.ρρθρθρθππθd f d )sin ,cos (24sec 0⎰⎰6、下列级数中条件收敛的是()A.12)1(1+-∑∞=n n n nB.∑∞=-1)23()1(n nn C.∑∞=-12)1(n n n D.∑∞=-1)1(n n n二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7要使函数xx x f 1)21()(-=在点0=x 处连续，则需补充定义=)0(f _________．8、设函数x e x x x y 22212(+++=），则=)0()7(y ____________． 9、设)0(>=x x y x ，则函数y 的微分=dy ___________．10、设向量→→b a ,互相垂直，且，，23==→→b a ，则=+→→b a 2___________．11、设反常积分21=⎰+∞-dx e a x ，则常数=a __________．12、幂级数n n n nx n )3(3)1(1--∑∞=的收敛域为____________．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限)1ln(2cos 2lim 320x x x x x +-+→． 14、设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求22,dx y d dx dy ． 15、求不定积分⎰+dx xx 2cos 12． 16、计算定积分dx x x ⎰-21121 ．17、已知平面∏通过)3,2,1(M 与x 轴，求通过)1,1,1(N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．18、设函数)(),(22y x xy x f z ++=ϕ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．19、已知函数)(x f 的一个原函数为x xe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．20、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由曲线1-x y =，直线x y 21=及x轴所围成的平面闭区域．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21、在抛物线)0(2>=x x y 上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22、已知定义在),(+∞-∞上的可导函数)(x f 满足方程3)(4)(31-=-⎰x dt t f x xf x，试求：（1）函数)(x f 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>．24、设⎪⎩⎪⎨⎧≠=⎰0)0(0)()(20＝ x g x xdt t g x f x ，其中函数)(x g 在),(+∞-∞上连续，且3cos 1)(lim0=-→x x g x 证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且21)0(='f ． 一．选择题 1-5BCCABD 二．填空题7-122-e 128dx x x n )ln 1(+52ln ]6,0( 三．计算题13、求极限)1ln(2cos 2lim 320x x x x x +-+→． 原式=30304202sin lim 4sin 22lim 2cos 2lim xxx x x x x x x x x x -=-=-+→→→ 14、设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定，求22,dx y d dx dy ． 原式=t t t t dt dx dt dy dx dy 211222=++==12112)()(22222+=+===t t tdt dx dt dx dyd dx dx dy d dx y d 15、求不定积分⎰+dx xx 2cos 12． 原式=⎰⎰⎰+-+=+=+)12(tan tan )12(tan )12(cos 122x xd x x x d x dx xx 16、计算定积分dx x x ⎰-21121 ．原式=令t x =-12，则原式=613arctan 211221312312π==+=+⎰⎰t dt t dt t t t 17、已知平面∏通过)3,2,1(M 与x 轴，求通过)1,1,1(N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．解：平面∏的法向量)2,3,0(-=⨯=→→→i OM n ，直线方向向量为)3,2,0(--=⨯=→→→i n S ,直线方程：312101--=--=-z y x 18、设函数)(),(22y x xy x f z ++=ϕ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有二阶连续导数，求yx z∂∂∂2．解：xy f f xz221⋅'+⋅'+'=∂∂ϕϕ''⋅⋅+''+'+⋅''=∂∂∂y x f xy f x f y x z 22222122 19、已知函数)(x f 的一个原函数为x xe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．解：x x e x xe x f )1()()(+='=，先求044=+'+''y y y 的通解，特征方程：0442=++r r ，221-=、r ，齐次方程的通解为xex C C Y 221)(-+=.令特解为x e B Ax y )(+=*， 代入原方程得：1969+=++x B A Ax ，有待定系数法得：⎩⎨⎧=+=19619B A A ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==27191B A ，所以通解为x x e x e x C C Y )27191()(221+++=- 20、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由曲线1-x y =，直线x y 21=及x轴所围成的平面闭区域．原式=⎰⎰+=12102121y ydx ydy . 四．综合题21、在抛物线)0(2>=x x y 上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．解：设P 点)0)(,(0200>x x x ，则02x k =切，切线：)(2,0020x x x x y -=- 即x x x y 0202,=+，由题意32)2(200020⎰=-+x dy y x x y ，得20=x ，)4,2(P 22、已知定义在),(+∞-∞上的可导函数)(x f 满足方程3)(4)(31-=-⎰x dt t f x xf x，试求：（1）函数)(x f 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．解：（1）已知3)(4)(31-=-⎰x dt t f x xf x两边同时对x 求导得：23)(4)()(x x f x f x x f =-'+即：x y xy 33=-'，则323cx x y +-=由题意得：2)1(-=f ，1=c ，则323)(x x x f +-=（2）2,0,063)(212===-='x x x x x f 列表讨论得在),2()0,(+∞⋃-∞单调递增，在)2,0(单调递减。

极大值0)0(=f ，极小值4)2(-=f （3）1,066)(==-=''x x x f列表讨论得在)1,(-∞凹，在),1(+∞凸。

拐点)2,1(- 五、证明题23、证明：当10<<x 时，361arcsin x x x +>． 解：令0)0(,61arcsin )(3=--=f x x x x f ,0)0(,21111)(22='---='f x x x f0)1)1(1()1()(3232>--=--=''x x x x x x f ，在10<<x ，)(x f '单调递增，0)0()(='>'f x f ，所以在10<<x ，)(x f 单调递增，则有0)0()(=>f x f ，得证。

24、设⎪⎩⎪⎨⎧≠=⎰0)0(0)()(20＝ x g x xdt t g x f x ，其中函数)(x g 在),(+∞-∞上连续，且3cos 1)(lim0=-→x x g x 证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且21)0(='f ． 解：因为3cos 1)(lim 0=-→x x g x ，即321)(lim 20=→xx g x 所以有23)(lim 20=→x x g x 又因为)(x g 在),(+∞-∞上连续，所以0)(lim )0(0==→x g g x ，则。