平衡膳食方案摘要随着国民经济的发展和人们生活水平的不断提高，我国人民的饮食结构发生了很大的变化。

在饮食结构多样化与不规范化的背后，各种慢性疾病以及身体亚健康状态逐步进入人们的生活中，严重影响了国民的身体素质和精神状态。

因此制定一个合理的膳食结构模型对改善目前的状况有一定的必要性和重要性。

本文通过分析长沙地区人民的膳食结构和不同年龄段人群所需各种营养成分的比例，进而通过食物营养成分统计表制定了一种针对不同年龄阶段、不同消费水平人群的膳食方案。

模型一：线性规划模型。

我们根据人类营养日需求量表（表一）、食物一般营养成分（表二），建立以满足营养需求为约束条件，以最低花费为目标函数的线性规划模型，求解这个模型即可得到一组相应的食物摄入量，得到一组平衡膳食食谱。

模型二：线性规划模型。

由模型一能得出食谱，但情况与现实生活有较大差距，因为其饮食最低话费与大众的平均收入存在较大的出入，同时也出现了一些营养元素没有摄入的问题，所以模型有待于改进。

实际生活中，营养的摄入和食物的摄入量都在一个范围内波动，同时，考虑到不同年龄阶段的人对早、中、晚餐营养的需求量也不同，每个家庭的经济实力也不同，加上模型一的不足之处，我们将不同人群营养素摄入量区间、一日三餐所需营养素区间作为约束，同时以家庭为单位将大众平均收入区间也作为约束条件，以营养素的摄入量与其需求量的偏差和10%的绝对误差的作为目标函数建立模型，求其最小值。

所得结果分别与营养素的摄入量表、大众的平均收入拟合，有较好的拟合度。

关键词：平衡膳食、线性规划模型、人类营养日需求量、食物一般营养成分、绝对偏差§1 问题重述当温饱问题解决之后，日常膳食营养结构调整越来越受到人们的重视。

人们从日常饮食中获取各种营养成分，人体必需的营养素种类繁多，没有一种天然食物能满足人体所需的全部营养素，因此食物多样化是平衡的最基本要求。

同时，不同地区、不同年龄、不同性别人群对各种营养素的需要量也有所不同，各种营养素对人体的正常生理机能需求的重要程度也不同，因此世界卫生组织、中国营养学会分别制定了各种营养素的每日供给量标准。

另一方面，随着经济发展、生活水平提高，人们能够获取的食物日益丰富，进行科学平衡的膳食已具备可能性。

通过查阅中国的生活饮食习惯、食物营养特点和营养卫生需求、大众经济水平，为某一地区的不同年龄、不同性别人群制定一个分层、分级的、具有可选择性和可执行性的一日三餐的平衡膳食方案。

§2 问题假设（1）食物的价格在一定时间内不变（2）该地食物充足，均可以买到（3）假设每个人每日三餐按时就餐，且每人一天之内只通过三餐来摄取能量（4）人群均为正常人群，对营养素的摄取需求相同（5）营养素摄入量等于吸收的量（6）假设人群所食入食物品质相同，且达到了食物营养成分表的含量标准。

（7）忽略用餐人由于突发性因素而导致营养吸收下降或饮食紊乱等造成的影响。

（8）忽略重体力活人群、孕妇以及疾病人群对食物摄入的特别需求。

（9）食物在制作过程中所损失的营养成分忽略不计。

§3 符号说明C：人均饮食消费水平，单位：元；D：消费合理度；:第i种食物的食用量，单位：百克；Xi：第i种食物的价格，单位：元、公斤；PiQ：第i种食物的食部，即每一百克食品i中的可食用部分；iR：第j种营养的需求量；jG：第j种营养的摄入合理度（j 1）；j：第i种食物中第j种营养的含量；Bi，j：第k类食物的最小摄入量，单位：百克；Lk：第k类食物的最大摄入量，单位：百克；Mk其中，I,j,k的取值见附件§4。

§4 问题分析根据现代营养学的研究,人体所需的各种营养素分为6类,即蛋白质、脂肪、糖类(碳水化合物)、无机盐(包括微量元素)、维生素和膳食纤维。

对这些营养素不仅有量的需求,而且各营养素之间还应有合适的配比。

根据长沙的实际情况我们可以将研究对象划分为儿童（2-7岁）、青少年（8-16岁）、成年（16- 55）、老年人（55岁以上）、孕妇五大人群，并且分别考虑不同性别的人的情况。

对于膳食平衡，若要求营养摄入量严格等于营养需求，理论上是很合理的，据此建立了模型一，但事实上人不可能每天摄入的营养量完全一样，有时甚至会出现较大的偏差。

科学研究结果表明，营养素摄入量与其需求量之间的偏差不超过10%是合理的。

根据这种想法，我们在作出一些合理假设的前提下，以食物的摄入量应做为约束条件，使食谱中各类食物的摄入量需在人类营养日需求量范围内波动才是合理。

就一天摄入的营养来说，并不是有十分严格的要求，求得的数值可以认为是一段时期内的平均值，而不是一天内的必须量。

为使模型更加贴近实际，我们认为约束条件应更改为每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食相关资料给出的需求范围内。

在对方案的营养摄入是否合理的问题上采用实际摄入量与需求量的相对偏差与10%误差的绝对值的平均值进行分析，得出结果。

之后我们与营养素的需求量和大众的经济水平数据进行拟合的检验，判断结果的实用性。

进一步考虑现实情况，因为不同年龄阶段的人对早、中、晚餐营养的需求量不同，每个家庭的经济实力也不同，所以制定的平衡膳食方案也不同。

因此我们应该对不同的情况进行分类的讨论，按照模型二的方法进行多次求解得出较为全面的结果。

§5 数学模型通过在互联网上得到的相关数据如下： 1．人类营养日需求量表（见附件§1） 2．食物一般营养成分（见附件§2） 3．长沙大众平均收入水平（见附件§3）§5.1 模型一 §5.1.1 模型建立在建立平衡膳食的方案中，首先要求营养素的摄取量满足要求，因此以人类营养日需求量上面要求的数据做为约束条件，保证营养的足够。

在此基础上，以最低消费作为目标函数。

每种营养的摄入量为：∑=641,i ji iiBQ X （2≤j ≤12）摄入总热量表达式为：∑=+++6414,3,2,1,)494(i i i i i iiB B B BQ X总花费表达式：∑=641101i i i P X 由以上分析得到线性规划模型如下：min ∑=641101i ii P X其约束条件如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+++≤≥∑∑∑===0)494(1.1,6414,3,2,1,641641,i i i i i i i i i i j j i i i X B B B B Q X Rj j XiQiBi R B Q X 运用linggo 软件对上述模型进行最优化求解，得各食物的摄入量如下表：表一 模型一的解§5.1.2 模型评价模型一满足了营养素的需求，但是与实际的生活不相符，在实际中，每种食物都要有一定的摄入量，同时食物的选取也要根据具体的家庭经济情况而定，单纯的用花费最少会在食物的取舍上有一定的狭隘。

所以该模型需要改进。

更重要的，该模型未考虑个人差异，未考虑男女性别差异，不同人群年龄差异等。

现在模型二中进行优化。

§5.2模型二§5.2.1 模型建立根据附表，从获取到的中国居民营养素摄入量表和食物营养素含量表中得出男女不同年龄段对各类营养素需求走势图，建立使各营养素摄入量达到最大值的优化函数，从而得出不同年龄段一天的食谱。

用SPSS做出不同性别各种营养素摄入量散点图，图形如下：图一钙与年龄图图二铁与年龄图图三蛋白质与年龄图图四脂肪与年龄图图六热量与年龄图实际生活中，营养的摄入和食物的摄入量都在一个范围内波动，且科学研究表明，营养素摄入量与其需求量间的偏差的合理值是10%。

同时，考虑到不同年龄阶段的人对早、中、晚餐营养的需求量也不同，每个家庭的经济实力也不同，加上模型一的不足之处，我们将不同人群营养素摄入量区间、一日三餐所需营养素区间作为约束，同时以家庭为单位将大众平均收入区间也作为约束条件，以营养素的摄入量与其需求量的偏差和10%的绝对误差的作为目标函数建立模型，求其最小值。

模型如下：j i i j ij j R Q X B R *1.19.051≤≤∑=其中，各类食物使用量如下：谷类：∑=71i iX，干豆类：∑=98i Xi，豆制品：∑=1110i Xi ，叶菜类：∑=2312i Xi ，瓜类：∑=2624i Xi ，茄果类：∑=3027i Xi，菌藻类：∑=3331i Xi，鲜干果类：∑=3934i Xi，硬果类：∑=4640i Xi，兽肉类：∑=5447i Xi ，禽肉类：∑=5655i Xi，蛋制品：∑=6457i Xi。

营养的实际摄入量与需求量之间的相对偏差的绝对值，其表达式是：)4,12(1.0641,≠≤≤--=∑=j j i N N BQ X R jji ji iij 且900641,ji i j i i i j N N B Q X R ∑=-=()2=j当j=4是，即营养为能量，根据假设（5），能量的摄入合理度必为0，所以不用考虑。

当j=2时，也就是考虑到脂肪，在表中的数值表示脂肪提供的能量占总能量的百分比，所以表达式与其他营养素不同。

从营养的摄入合理度的定义可以看出，其值越小，就表示摄入的能量与需求量越接近，也就越合理。

为了要给出一份较好的膳食方案，营养摄入合理度越小越好。

由以上分析得规划模型如下：∑==121min j Rj约束条件为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============0300010125001212111110109988776655443322117.0,64164575655544746403934333130272624231211109871641Xi Xi M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L M Xi L Rj j XiQiBi i i i i i i i i i i i i§5.2.2 模型求解与数据分析根据约束条件和目标函数，应用lingo 软件编程（程序见附件§6）即可得出结果如下表：表二模型二的解（经修改）§ 5.1.3 模型评价模型二综合了各方面的因素，并且通过数据的拟合分析有较好的符合度。

所以模型二较为全面，更具有现实意义。

§7 新闻报道"饮食者，人之命脉也"是明代医学巨匠李时珍对饮食重要性的高度概括。

民以食为天，人之所以能够维持生命、工作、思维，都要依靠食物中的营养供应。

随着我国经济腾飞，人民生活水平不断提高，膳食结构也发生了巨大的变化。