第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面1．以下是一些命题的叙述语言① 点αα平面点平面⊂⊂B A ,，∴ 直线α平面⊂AB ；② 点αα平面点平面∈∈B A ,，∴ 直线α平面∈AB ；③ 点βα平面点平面∈∈B A ,，∴ 平面AB =βα ；④ 直线βα平面直线平面∈∈a a ,，∴ 平面a =βα ；则其中命题和叙述方法都正确的个数是 【 】A.1个B. 2个C. 3个D. 4个2.给定下面四个命题：(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；(2)两条直线可以确定一个平面；(3)若b M M =∈∈βαβα ,,,则b M ∈；(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内；其中真命题的个数是 【 】A.1B.2C.3D.43.空间三条直线交于同一点，它们中的两条确定的平面个数记为n ，则n 的可值可能为【 】A.1B.1,3C.1,2,3D.1,2,3,44．ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ，Q ，R 三点共线.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1．正方体1111D C B A ABCD -的各面的对角线中，与1AB 成︒60角的异面直线有【 】A.4条B.6条C.8条D.12条2．空间四边形ABCD 中AB BC CD ,,的中点分别是P Q R ,,，且3,5,2===PR QR PQ ，那么异面直线AC 和BD 所成的角是 【 】A ．︒90B ．︒60C ．︒45D ．︒303.已知异面直线a ，b 所成的角为60°，直线l 与a ，b 所成的角都为θ，那么θ的取值范围是什么？4.Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ，Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心. 求证：ＤＥ∥ＡＣ.2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系1．过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作 【 】A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个，1个或无数个2．已知m n ,为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l 【 】A ．与m n ,都相交B ．与m n ,中至少一条相交C ．与m n ,都不相交D ．至多与m n ,中的一条相交3．若两个平面互相平行， a ,b 分别是在这两个平面内的两条直线，则a ,b 的位置关系是 ．4．如图，空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且32==CD CG CB CF ，求证：直线EF ，GH ，AC 交于一点．2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1．梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 【 】A. 平行B. 平行和异面C. 平行和相交D. 异面和相交2．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面 【 】A. 只有一个B. 恰有两个C. 或没有，或只有一个D. 有无数个3．如图，在四棱锥ABCD P -中，N M 、分别是PC AB 、的中点，若四边形ABCD是平行四边形，求证：PAD MN 平面//4.如图，A 为BCD ∆所在平面外一点，N M 、分别是ABC ∆和ACD ∆的重心.求证：BCD MN 平面/.2.2.2 平面与平面平行的判定 1．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 【 】A. α，β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD.l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β2．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作 【 】 P A B C D M N •A BCM N •A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个3．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，过M 作MH ⊥AB 于H ，求证：平面MNH //平面BCE .2.2.3 直线与平面平行的性质1．已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是 【 】A. D 1B 1∥lB. BD //平面AD 1B 1C. l ∥平面A 1D 1B 1D. l ∥B 1 C 12．b a ,是两条异面直线，A 是不在b a ,上的点，则下列结论成立的是 【 】A ．过A 有且只有一个平面平行于b a ,B ．过A 至少有一个平面平行于b a ,C ．过A 有无数个平面平行于b a ,D ．过A 且平行于b a ,的平面可能不存在3．如图，四边形ABCD 是矩形，∉P 平面ABCD ，过BC 作平面EBCF 交AP 与E ，交DP 于F ．求证：四边形EBCF 是梯形．4．如右图，直线AB 和CD 是异面直线，//AB α，//CD α，AC M α=，BD N α=，求证：AM BN MC ND =.2.2.4 平面与平面平行的性质1．下列说法正确的是 【 】A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行2.如图，点P 是两平行平面βα、外的一点，直线PD PB 、分别与平面βα、相交于点B A 、和D C 、，若4=PA ，5=AB ，3=PC ，则=PD A F E BD M N C H P A B C D EF NPA C Dα3.如图，已知AB 和CD 是夹在两平行平面βα、间的两异面直线段，N M 、分别是AB 和CD 的中点，求证：α//MN2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1．在正方形S G 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，现沿S E ，S F ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3重合为点G ，则有 【 】A. SG ⊥面EFGB. EG ⊥面SEFC. GF ⊥面SEFD. SG ⊥面SEF2．有以下四个命题：（1）在空间中，垂直于平行四边形两边的直线必垂直于另外两边；（2）在空间中，垂直于三角形两边的直线必垂直于另外一边；（3）在空间中，垂直于梯形两底的直线必垂直于两腰；（4）如果直线a 垂直于平面α内无数条直线，那么α⊥a ．则上述命题错误的个数为 【 】A ．1B ．2C ．3D ．43．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 【 】A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4．如图所示，R Q P 、、分别是正方体的棱BCBB AB 、、1的中点，则1BD 与平面PQR 所成的角的大小是 ．5．设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下说法：①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆垂心；②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H是ABC ∆垂心；③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC ==； ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心. 其中正确说法的序号依次是 .6．如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,PA AD a ==AB =，E 是线段PD 的中点，F 是线段AB 上的中点，求直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.2.3.2 平面与平面垂直的判定1.如果直线m l 、与平面γβα、、满足ααγβ⊂=m l l ,//, 和γ⊥m ，那么必有【 】 M A B C D α βN A1A P P A B C D E FA.m l ⊥⊥且γαB. βγα//m 且⊥C. m l m ⊥且β//D. βαγα⊥⊥且2．E 是正方形ABCD 的AB 边中点，将△ADE 与△BCE 沿DE ，CE 向上折起，使得A ，B 重合为点P ，那么二面角D —PE —C 的大小为 .3. 如图，ABC ∆为正三角形，ABC EC 平面⊥ ，CE BD //，且BD CA CE 2==，M 是EA 的中点，求证：（1）DA DE =；（2）平面ECA BDM 平面⊥；（3）平面ECA DEA 平面⊥.2.3.3 直线与平面垂直的性质1.已知α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，有下面四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②βα//⇒⊥m l ；③βα⊥⇒m l //；则其中正确的是 【 】A. ① ②B. ③C. ②D. ① ③2. 已知直线a α⊥，直线b β⊥，且a b ⊥，则α与β所成二面角的度数是 .3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中. 求证：（1）B 1D ⊥平面A 1C 1B ；（2）B 1D 与平面A 1C 1B 的交点设为O ，则点O 是△A 1C 1B 的垂心.2.3.4 平面与平面垂直的性质1.在空间四边形ABCD 中，平面BCD ABD 平面⊥，且ABC DA 平面⊥，则ABC∆的形状为 【 】A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定2．已知m ，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：① 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；② 若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③ 若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④ 若α∩β＝m ，n ∥m 且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β.其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都．填上）. 3.已知平面αγ⊥，平面βγ⊥,m αβ=，求证m γ⊥M AB C D E参考答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面1.D2.A3.B4. 根据公理2易知ABC ∆确定平面β，且与α有交线l ，根据公理3易知，P ，Q ，R 三点都在直线l 上，即三点共线.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1. C2. A3. {}|3090αα︒︒<<4.提示：用公理4.2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系1.D2. B3. 平行或异面4. ∵ E 、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴ EH //12BD .又32==CD CG CB CF ， ∴ FG //23BD .∴EH ∥FG ，且EH ＜FG . ∴ FE 与GH 相交.设交点为O ，又O 在GH 上，GH 在平面ADC 内，∴ O 在平面ADC 内.同理，O 在平面ABC 内. 从而O 在平面ADC 与平面ABC 的交线AC 上.∴ 直线EF ，GH ，AC 交于一点．2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1. A2. C3. 提示：取PD 的中点E ,可将问题转化为证//MN AE .4. 提示：连AM 并延长交BC 于E ，连AN 并延长交CD 于F ，可将问题转化为证EF MN //.2.2.2 平面与平面平行的判定1.D2. C3.∵ 正方形ABCD 中， MH ⊥AB ， ∴则MH ∥BC ， ∴ 连接NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得FN AH BF AB=， ∴ NH //AF //BE . 由 MH //BC ，NH //BE ，∴ 平面MNH //平面BCE . 2.2.3 直线与平面平行的性质1. D2. D3. 提示：可证明EF//BC,且EF≠BC .4. 如图，连结AD 交平面α于点Q ，连接MQ 、QN .////AB AQ BN AB ABD AB QN QD ND ABD QN αα⎫⎪⊂⇒⇒=⎬⎪=⎭平面平面平面， ////CD AQ AM CD ACD CD MQ QD MC ACD MQ αα⎫⎪⊂⇒⇒=⎬⎪=⎭平面平面平面， ∴AM BN MC ND=.2.2.4 平面与平面平行的性质1.D2. 427 3. 提示：连接AD ，取AD 的中点P ，连接PN ，可证明AC//PN .2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1.A2. C3. C4. 90°5. ①②③④6. PA ⊥平面ABCD ，过E 作EM AD ⊥于M ，则EM ⊥平面ABCD ，连FM ，则EFM∠为直线EF 与平面ABCD 所成的角.2,3a EM FM ==a =.在Rt FEM ∆中, sin EFM ∠． 2.3.2 平面与平面垂直的判定1.A2. 60°3.略2.3.3 直线与平面垂直的性质1.D2. 90°3. （1）连接B 1D 1，则A 1C 1⊥B 1D 1. 又有D D 1⊥A 1C 1，∴ A 1C 1⊥平面B 1 D D 1，从而A 1C 1⊥B 1D . 同理可证：A 1B ⊥B 1D . ∴ B 1D ⊥平面A 1C 1B . （2）连接BO ，A 1O ，C 1O . 由B B 1⊥A 1C 1，B 1O ⊥A 1C 1，得到A 1C 1⊥平面B B 1O . ∴ A 1C 1⊥BO .同理，A 1B ⊥C 1O ，BC 1⊥A 1O . 故点O 是△A 1C 1B 的垂心.2.3.4 平面与平面垂直的性质1. B2. ①④3. 提示：提示：在平面γ内任取一点A ，过点A 在平面γ内作AE ⊥α，在平面γ内作AD ⊥β,则可证明直线m ⊥平面ADE,即m γ⊥.作 者 于华东 叶建华 责任编辑 王世栋。