43初二秋季·第13讲·提高班·学生版全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。
一、常见辅助线的作法有以下几种：1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；思路导航13名校期末试题点拨——几何部分题型一：全等三角形与轴对称44 初二秋季·第13讲·提高班·学生版4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
二、常见模型1.最值问题：“将军饮马”模型；2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。
三、尺规作图部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。
【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ． 典题精练21C'B'FE CBA 第二次操作第一次操作45初二秋季·第13讲·提高班·学生版【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）．A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小；⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1P DCB AOP C BAP E D CB AP E D CBA【例4】 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB AC BC 、、于点N E M 、、. ⑴当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； ⑵当M 是BC 的中点时，写出CE 和CD 之间的等量关 系，并加以证明； lD CBA46 初二秋季·第13讲·提高班·学生版⑶请直接写出BN CE CD 、、之间的等量关系.一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+；5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比为1：3：2）；6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2． 思路导航题型二：直角三角形与勾股定理47初二秋季·第13讲·提高班·学生版二、直角三角形的判定1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．【例5】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，D 1E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．EDCBA【例6】 如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．图1C AEG BFD图2DA BCE思考验证：⑴求证：DE =DF ；典题精练48 初二秋季·第13讲·提高班·学生版⑵在图1中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明； 探究应用：⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，∠ABC =90°，∠CAB =∠CAD =30°，E 在AB 上，DE ⊥AB ，且∠DCE =60°，若AE =3，求BE 的长．【例7 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC =45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F ．当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示易证：MF +FN =12BE ．⑴当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．⑵当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请写出你的结论，并说明理由．49初二秋季·第13讲·提高班·学生版M 图3图2图1NEDEMBFC AF N D CBAEF NMDBC A50 初二秋季·第13讲·提高班·学生版NMDC BA训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）HGF EAB⑵如图，在锐角△ABC 中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .⑴ 当090︒<α<︒时，如图1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）；⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α； ⑶ 当90180︒<α<︒时，如图2，求证：△A 1CF ≌△BCD .图2图1ABCA 1B 1E F DDFEB 1A 1CBA训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、思维拓展训练(选讲)PEDC B A51初二秋季·第13讲·提高班·学生版E .⑴ 求证：PD=PE ；⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积.训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、c 、d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ∆，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（ ）A ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．(11)2-，，C ．(11)2-，，D ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，，⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于D . 试猜想AD 与DC 间的数量关系，并证明.DECAB 图 311-1-1OABC d c ba y x52 初二秋季·第13讲·提高班·学生版【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点， 则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等 分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示）⑵如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠， 若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5【练习2】 如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；⑵ 若1FD =，求线段BF 的长．复习巩固DCB AGFEDCBA第十五种品格：创新创新的力量20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受潮现象，这给公司带来巨大损失。