武汉理工大学考试试题（A 卷）
备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。

一、单项选择题（本题共5小题，每小题
3分，满分15分）
1．二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的偏导数存在，是(,)f x y 在该点连续的（ ）. A ．充分但非必要条件
B ．必要但非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非必要条件
2．设函数()f u 连续，区域{}
22(,)2D x y x y y =+≤，则()D
f xy d σ⎰⎰=（ ）.
A ．1
1
()dx f xy dy
-⎰ B ．2
02()dy f xy dx ⎰
C
．2sin 20
(sin cos )d f r dr πθ
θθθ⎰⎰
D ．2sin 20
(sin cos )d rf r dr π
θ
θθθ⎰⎰
3．下列级数中条件收敛的级数是（ ）.
A ．∑∞
=+1)1(1n n n B ．1n n ∞= C ．21(1)2n n n n ∞=-∑ D ．n ∞
=
4．设L 是平面上不包含原点的任一光滑有向闭曲线，则22
L
ydx xdy
x y
-=+⎰ （ ）. A ．π B ．2π C ．2π- D ．0 5．方程36x y y y xe '''--=特解*y 的形式可设为（ ）.
A ．3()x ax b e +
B ．23()x ax bx e +
C ．3x axe
D ．23x ax e 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1．设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，则z
x ∂=∂________. 2．设()f x 连续，1
()()(1)t
t
y
F t dy f x dx t =>⎰⎰，则(2)F '= .
3．设∑是平面123
x y
z -+=位于第四卦限的部分，则∑的面积A =______.
4．设2
()(01),f x x x =≤<而1
()sin n n S x b n x π∞
==∑，其中1
2()sin n b f x n xdx π=⎰，
1,2,n = ，则12S ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
= .
5．若221233,3,3x y y x y x e ==+=++都是微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的解，则此方程的通解为 .
三、本题共2小题，每小题8分，满分16分
1．设2
2
(,)xy
z f x y e =-，f 具有连续的二阶偏导数，求y
x z
∂∂∂2.
2．在曲面z xy =上求一点，使这点处的法线垂直于平面390x y z +++=，并写出这法线的方程.
四、本题共3小题，每小题8分，满分24分
1．求22s i n (2s i n )(c o s )2
x x y
L y e y x d x e y e d y --+-⎰，L
为y =(0,0)O 到
(1,0)A 的有向曲线弧.
2设∑为球面2222
(0)x y z R R ++=>的外侧，计算()
3333
2
222
.x dydz y dzdx z dxdy
I x
y z
∑
++=++⎰⎰
3．将函数x
x f +=
31
)(展开成(2)x -的幂级数，并指出收敛域. 五、本题满分10分
求内接于半径为a 的球面且有最大体积的长方体.
六、本题满分10分
设级数2468
2242462468
x x x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 在x -∞<<+∞内的和函数为()S x ，求：
（1）()S x 所满足的一阶微分方程； （2）()S x 的表达式. 七、本题满分5分
设40
tan n
n a xdx π
=⎰，证明：对任意的常数0α>，级数1n
n a n
α
∞
=∑
收敛.
2005年7月高数A （下）参考答案
一、 单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1. D ； 2.D ； 3.B ； 4.D ； 5.B.
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1.
z
z yz
x e xy
∂=∂-； 2.(2)f ； 3.72； 4.14-； 5.2123x y c x c e =++. 三、本题共2小题，每小题8分，满分16分 1.
''122xy z
xf ye f x
∂=+∂（4分）， 2''2''2''2''''1112212222422xy xy xy xy xy z xyf x e f y e f xye f xye f e f x y
∂=-+-+++∂∂ （8分）. 2．解 设所求点为000(,,)x y z ，
曲面在该点的切平面的法向量为00(,,1)n y x =-
.（2分）
依题意得：
001131
y x -== （4分），则0003,1,3x y z =-=-=（5分）. 即所求点为：(3,1,3)--（6分），该点处的法线方程为：
313131
x y z ++-==（8分）. 四、本题共3小题，每小题8分，满分24分 1.解 22sin 2sin ,cos 2
x
x y y
P e
y x Q e y e =--
=-，
2211
2cos (2cos )22
x x Q P e y e y x y ∂∂-=--=∂∂（2分）. 从而
128
L
AO
L AO
D
d π
σ++==-=-⎰
⎰
⎰
⎰⎰
（5分）. 又
1
1()2AO
x dx =-=
⎰
⎰（7分），所以1
82
L π=--⎰（8分）.
2．解 3333
1
I x dydz y dzdx z dxdy R ∑
=
++⎰⎰
（2分）2
223
3
()x
y z dv R Ω
=
++⎰⎰⎰（5分）
22
2
3
3sin R
d d r r dr R
π
πθϕϕ=⋅⎰
⎰⎰
（7分）2
125
R π=（8分）.
3.解 11
1()25(2)5
15
f x x x =
=⋅-+-+（2分）11255n
n x ∞=-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭∑（6分） 1
1
(2)(1),375n
n
n n x x ∞
+=-=--<<∑（8分）. 五、本题满分10分
解 设球面的方程为：2222x y z a ++=，长方体在第一卦限的顶点坐标为(,,)x y z . 则长方体的体积为：8V xyz =（2分）.
设()
2222
(,,)F x y z xyz x y z a λ=+++-（4分）
则 222220,20,
20,.
x y
z F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩ （7分），解得
x y z ===.（9分）
的正方体时，其体积最大.（10分）
六、本题满分10分
解 （1）2468
(),2242462468x x x x S x x =
++++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （1分） 357
'
()224246
x x x S x x =+
+++⋅⋅⋅ (2分) 246
(1)(1())224246
x x x x x S x =+
+++=+⋅⋅⋅ （4分） 即'
()(1()),(0)0S x x S x S =+=.（5分） （2）对于可分离变量的微分方程：'
()(1())S x x S x =+
解得： 22
()1x S x Ce =-（8分）
，由(0)0S =得1C =（9分） 故22
()1,x S x e x =--∞<<+∞.（10分）
七、本题满分5分
证明 由于 1
4200tan 1n
n
n t a xdx dt t π
==+⎰⎰1011
n t dt n <=+⎰ 则 1
01
n a n <<+ （2分） 从而
1
11
(1)n a n n n n ααα+<<
+（3分） 当0α>时，级数
∑∞
=+1
1
1
n n α
收敛，（4分）
故级数
1n
n a n
α
∞
=∑收敛.（5分）。