第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：m n
a
=)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质
（1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3）
s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数.
2
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x
≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且，总有a )1(f =；
二、对数函数 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x
=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：
N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）
说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x
=⇔=log ；③注意对数的书写格式．
两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ； ②自然对数：以 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化（如右图） （二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；
② =N
M
a
log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a
b
b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
利用换底公式推导下面的结论（1）b m
n
b a n a m
log log =；（2）a b b a log 1log =．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.
注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，5
log 5x y =
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．②对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1
1
1
1
1
定义域x ＞0 定义域x ＞0 值域为R 值域为R 在R 上递增
在R 上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如α
x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．
（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．。