无穷级数单元测试题
答案
精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢
2
第十二章 无穷级数单元测试题答案
一、判断题
1、对；2、对；3、错；4、对；5、对；6、对；7、对；8、错；
9、错；10、错
二、选择题
1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B
三、填空题
1、2ln 2、收敛 3、5 4、33，1248，











,...3,1,21,...4,2,0,21)(k
k

kS



四、计算题
1、判断下列级数的收敛性
（1）1131arcsin)1(nnn
解：这是一个交错级数，

1arcsin31arcsin13lim13nnunnn，所以nu发散。
又由莱布尼茨判别法得
111arcsinarcsin33(1)nnuunn
并且1limlimarcsin03nnnun，满足交错级数收敛条件，
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢
3
故该交错级数条件收敛。

（2）11nnnn
解：limlim()[lim()]1011nnnnnnnnunn
不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。
(3)
)0,(,31211ba

bababa


解：另设级数1()nvnab

1111111(1)()23nnnvnababn
上式为1ab与一个调和级数相乘，故发散
又11()nnuvnabnab，
由比较审敛法可知，原级数发散。
(4)nn134232
解：1limlim10nnnnun
不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散
2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在
收敛区间上的和函数

（1） 753753xxxx

解：设357()357xxxfxx（补充条件1x，或求出R）
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢
4
逐项求导，得24621()11fxxxxx
（这是公比21qx的几何级数）
积分，得2001()()1xxfxfxdxdxx
=0111()211xdxxx=11ln21xx

即753753xxxx=11ln21xx
（2）433221432xxx
解：设234()122334xxxfx（补充条件1x，或求出R）
逐项求导，得23()123nxxxxfxn
再逐项求导，得21()1nfxxxx
积分一次，得001()()ln(1)1xxfxfxdxdxxx
再积分一次，得00()()ln(1)(1)xxfxfxdxxdx
= 0(1)ln(1)(1)ln(1)xxxxdx = 0(1)ln(1)(1)xxxdx
= (1)ln(1)xxx

即433221432xxx=(1)ln(1)xxx
（3）13951392xxx
解：设5913()5913xxxfx（补充条件1x，或求出R）
逐项求导，得448124()1xfxxxxx
（这是公比41qx的几何级数）
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢
5
积分，得4001()()(1)1xxfxfxdxdxx
= 220111()211xxdxxx= 111lnarctan412xxxx

即59135913xxx=111lnarctan412xxxx
3、将下列函数展开为x的幂级数，并指出其收敛半径
（1）xtdt041
解：411t是级数481441(1)nnttt之和
所以481444001(1(1))1xxnndttttdtt

=1591343111(1)591343nnxxxxxn
收敛半径141limlim143nnnnanRan
（2）)1ln(2xx
解：2222121[ln(1)](1)1211xxxxxxx

所以12222001ln(1)(1)1xxxxdxxdxx
=2222011111(1)(1)(1)122222[1()()]22!!xnnxxxdxn
=357212131352(2)!(1)()232452467(!)(21)2nnxxxnxxnn
收敛半径为1R
（3）xarcsin

解：122200arcsin(1)1xxdxxxdxx
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢
6

=242011111(1)(1)(1)122222[1()]22!!xnnxxxdxn
=357212131352(2)!()232452467(!)(21)2nxxxnxxnn
收敛半径为1R （arcsin,1yxx）
（4） xex3
解：因为 21112!!xnexxxn，
所以2111()()()2!!xnexxxn
=2111()2!!nxxxn
因此3()xfxxe=3211(1())2!!nxxxxn
=345311()2!!nxxxxn

=30(1)!nnnxn (,)x

4．将函数)0()(xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数.
解：（1）先求正弦级数，，将()fx奇周期延拓
0na，只有nb，
02()sinnbfxnxdx=02()sinxnxdx
=0022sinsinnxdxxnxdx
=0022cos(cos)nxxdnxnn
=0022(cos1)[coscos]nxxnxnxdxnn
=222[(1)1](1)nnnnn
所以()fx展开成正弦级数为
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢
7
111()sin2sinnnnfxbnxnxn


在端点0x时，级数之和不能代表原函数，
x
时，级数之和能够代表原函数，所以(0,]x
（2）再求余弦函数，将()fx偶周期延拓
0nb，只有0a，na
2000221()[]2axdxxx=
02()cosnafxnxdx=02()cosxnxdx
=0022coscosnxdxxnxdx
=00221sin(sin)nxxdnxnn
=22(cos1)nn=22[1(1)]nn

=20,24,21(21)nmnmm
所以()fx展开成余弦级数为
0
1()cos2nnafxanx2141cos(21)2(21)nmxm





，[0,]x