学习等差数列求和公式的四个层次
等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n
2
)
1(2)(11-+=+=
,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:
1.直接套用公式
从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2
)
1(2)(2)(111-+=+=+=
+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.
例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2
n S n -=,那么( ).
(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n
解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2
2+-=-+-=n n n a n
],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).
解法2 ,2
)
1(21n d n n na S n -=-+
=Θ对照系数易知,2-=d 此时由2
1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C).
例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与44
1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .
解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2
)
1(1d n n na S n -+= 由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅
241
31)51(4131432543S S S S S , 即⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++⨯+⨯+=⨯+⨯⨯+
2)2344(41)2233(3
1)2455(251)2344(41)2233(31112111
d a d a d a d a d a
化简可得,2252053121⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+d a d d a 解得⎩⎨⎧==101a d 或⎪⎩⎪⎨⎧=-
=45121a d
由此可知1=n a 或.5
12532)512)(1(4n n a n -=-
-+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.5
12
532n a n -=
2.逆向活用公式
在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.
例3 设,N n ∈求证:.2
)
3()1(32212)1(+<+++⋅+⋅<+n n n n n n Λ 证明 ,3212
)
1(n n n ++++=+ΛΘ
又,211⋅<,322⋅<
,)1(,+<n n n Λ
.)1(32212
)
1(+++⋅+⋅<+∴
n n n n Λ 又),1(4322
)3(+++++=+n n n ΛΘ
且,
221<⋅,332<⋅,443<⋅,1)1(,+<+n n n Λ
.2
)
3()1(3221+<
+++⋅+⋅∴n n n n Λ 例4 数列{}n a 对于任意自然数n 均满足2
)(1n
a a S n n +=,求证: {}n a 是等差数列. 证明 欲证n n a a -+1为常数,
由2)(1n a a S n n +=
及2
)
1)((111++=++n a a S n n 可得 11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n
作差可得,221+++=n n n na na na 因此.112n n n n a a a a -=-+++
由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++Λ为常数),所以命题得证. 3.横向联系,巧用公式
在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式d n n na S n 2
)
1(1-+
=表明是关于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列),(n S n 均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.
解 设bn an S n +=2
,则可得
⎪⎩
⎪⎨⎧=++++⨯=⨯+⨯⨯⨯+⨯ 2)416(41
)39(31)]55(51[)44(41)33(312
222b a b a b a b a b a 解得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧=-=52656b a ,所以n S n =或,526562n n S n
+-= 从而1=n a 或.5
12
532n a n -=
例5 设等差数列{}n a 的前项和为n S ,已知,0,0,1213123<>=S S a 指出12
321,,,,S S S S Λ中哪一个值最大,并说明理由.
解 由于d n n na S n 2)
1(1-+
=表明点列),(n S n 都在过原点的抛物线上,再由,0,01312<>S S 易知此等差数列公差d<0,且,01>a 图象如图所示, 易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x ,
于是0,076<>a a ,故6S 最大.
4.恰当变形妙用结论
例6 等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 解法1 23)(313m
a a S m m +=Θ
又由于1002
30212=⋅++=+m a a S m
m m
,
140)(21=+∴+m m a a m ,=+∴)(31m a a m 140)(21=++m m a a m ,
从而,2102
3
1403=⨯=m S 选(C). 解法2。