B中 的定义域为 ，且 ； 与 的定义域和对应法则都相同，所以为同一函数；
C中 的定义域为 ，但 ，所以 与 不是同一个函数；
D中 的定义域为 ，所以 与 不是同一个函数.
所以，应选B.
【例4】某种笔记本的单价是5元，买 个笔记本需要 元.试用函数的三种表示法表示函数 .
解：这个函数的定义域是数集
用解析法表示为
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:
双基淘宝
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1．下列说确的是( )
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
2．下列说法中正确的为( )
（1）满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 .
（2）满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 .
（3）满足不等式 或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ， .
这里的实数都叫做相应区间的端点.
实数 可以用区间表示为 .“ ”读作“无穷大”， “ ”读作“负无穷大”，“ ”读作“正无穷大”，我们可以把满足 ， ， ， ，的实数 的集合分别表示为 ，
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
11．已知函数y＝ (a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，数a的取值围．
12．画出下列函数的图象:
（1）
（2）
13．已知二次函数 的图象过点 ， ，其对称轴为 ，求其解析式．
14.已知 ，求 的解析式.
15．已知 ，求 的解析式.
2.函数的定义域、值域
其中， 叫做自变量， 的取值围A叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.
3.函数的三要素
定义域、值域和对应法则.
4.相等函数
如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；
这是判断两函数相等的依据.
5.区间的概念
设 是两个实数，而且 .我们规定：
列表法表示如下：
笔记本数
1
2
3
4
5
钱数
5
10
15
20
25
用图象法可将函数表示如下图：
注意：（1）函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。
（2）函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域。
【例5】已知 ，求 和 .
解：令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【例8】已知函数
（1）求 的值.
（2）若 ，求 的值.
解：（1）
（2）①若 ，则 ，解得 ，不满足 ，舍去；
②若 ，则 ，解得 或 ， 不满足 ，舍去；
所以 ；
③若 ，则 ，解得 ，不满足 ，舍去.
【例9】画出函数 的图象.
解：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:
【例10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
6.下列两个函数是否表示同一个函数
（1）
（2）
（3）
（4）
7.求下列函数的定义域
（1）
（2）
8.已知函数 的定义域为 ，求 的定义域.
9.求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
10．已知f(x)＝ (x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
16．已知 ，求 的值.
17.已知 ，求使得 成立的 的取值围.
18.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费 元，已知甲、乙两户的用水量分别为 、 (吨).
(1)求 关于 的函数；
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
（2）换元法: 适用于已知 的解析式,求 .
（3）消元法:适用于同时含有 和 ，或 和 .
8.分段函数
在它的定义域中，对于自变量的不同取值围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.
9.映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则,使对于集合A中的任意一个元素 ,在集合B中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 为从集合A到集合B的一个映射。
， ， .
6.函数的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.
（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
（3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).
7.求函数的解析式的方法
（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.
A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数
B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数
C．f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数
D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数
3．下列函数完全相同的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝( )2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
注意：此方法为换元法.
【例6】已知 是一次函数， ，求 的解析式.
解：设 ，
则
对比系数得 解得 或
所以函数 的解析式为 或 .
注意：此方法为待定系数法，适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等).
【例7】已知 ，求 的解析式.
解：用 代替 得
解析式，适用于同时含有 和 ，或 和 .
（2）配方，得
又 ，所以 ，
所以 的值域为 .（配方法）
（3）
因为 ，所以
所以 的值域为 .（分离常数法）
（4）设 ，则 且
所以 即
所以 的值域为 .（换元法）
【例4】下列函数中哪个与函数 相等( )
A. B. C. D.
解：函数 的定义域为 ，对应法则为 .
A中 的定义域为 ，所以 与 不是同一个函数；
解：（1）使得 有意义的实数 的集合是 ，
使得 有意义的实数 的集合是 ，
所以，这个函数的定义域就是 .
（2）
（3）因为 ，所以 ， 有意义，
【例3】已知 的定义域为 ，求 的定义域.
解：由题意知， ，所以
所以 的定义域为
【例4】求下列函数的值域.
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）因为 ，所以 ，
所以 的值域为 .（观察法）
（1）5公里以(含5公里)，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
解：设票价为 元，里程为 公里，由题意可知，自变量 的取值围是（0，20].
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：
注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.
e线聚焦
【例1】下列图象中不能作为函数的是( ).
A B C D
解：答案为B. 因为B中存在 ，使得有两个 与之对应.
【例2】已知函数 .
(1)求函数的定义域.
（2）求 , 的值.
(3）当 时，求 , 的值.
函数的概念与表示
知识领航
1．函数的定义
一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作： .
注意：函数概念中的关键词
(1) A，B是非空数集.
(2)任意的 ∈A，存在唯一的 ∈B与之对应.
D．f(x)＝ ，g(x)＝x＋3
4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．
5．下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方