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最优化练习题

最优化练习题
1.设A 为m n ⨯阶矩阵,n
b R ∈,试证集合{|,,0}n
S x x R Ax b x =∈=≥为凸集。

2.试证平面上椭圆22
221x y a b
+=所包围的区域为凸集。

3.判断下列函数为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数:
(1)2
2
1212(,)23f x x x x =+;(2)2
2
2
1231231231(,,)22712f x x x x x x x x x x =+++--+ 4.设()f x 为定义在凸集D 上的凸函数,试证()f x 的任何局部极小点同时也必为全局极小点。

5.设n 阶矩阵0T Q Q =>,非零向量12,,,()n
n p p p R m n ∈≤ 为Q 共轭的,证明: (1)12,,,n p p p 线性无关;(2)若n 维向量x 和12,,,n p p p 为Q 共轭的,则x=0。

6.设()T T
f x x Ax b x =-,2112A ⎡⎤=⎢

⎣⎦
,(3,3)T
b =,取1(0,0)T x =,1(1,0)T p =,2(1,2)T p =-,试证由共轭方向法产生的3x 为()f x 的最优解。

7.设1()2
T
T f x x Qx b x c =
++,0T Q Q =>,试证由精确线搜索的共轭梯度法中,有 T k k k T k k
g d
d Qd λ=-
8.取初始点0(0,0)T
x =,并且设定净度误差0.01ε=,试利用最速下降法求解下面的优化
问题:2
22
112212min 243x R
x x x x x x ∈-++- 9.考虑极小化问题1min ()2
n
T
T x R
f x x Ax b x ∈=+,其中0T A A =>,n b R ∈。

记函数()()
g x f x Ax b =∇=+。

设从k x 点出发,利用精确搜索的最速下降法求出改进点1k x +,
证明:
(1)最速下降法的迭代公式形如1T k k k k k T k k g g
x x g g Ag +=-,其中()k k g g x =;
(2)一步迭代中引起目标函数的下降量为2
1()()()2T k k k k T
k k
g g f x f x g Ag +-=。

10.研究形如1T
k k k k k H H Z Z α+=+的迭代校正公式,使之满足拟牛顿方程,
(1)试确定,k k Z α,从而证明1()()()
T
k k k k k k k k T
k k k k s H y s H y H H y s H y +--=+-; (2)试证对于二次函数有1k k k H y s +=。

11.利用DFP 方法求解下列问题:22121min 242x x x +-+,其中初始点0(2,1)T
x =,0H I =。

12.利用外点罚函数法或内点罚函数法求解下列问题: (1)
22
12
2min ()(1)..()10
f x x x s t
g x x =-+=-≥
(2)312121
min ()(1)12..
100
f x x x s t x x =++-≥≥。

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