(2) 概率解法：又叫统计法。应用概率论原理来进行尺寸键 计算的一种方法。如算术平均、均方根偏差等。
求解尺寸链的情形：
1．已知组成环，求封闭环
2．已知封闭环，求组成环
尺寸链的正计算 尺寸链的反计算
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环 尺寸链的中间计算
1．已知组成环，求封闭环 根据各组成环基本尺寸及公差（或偏差），来计算封
根据上述的几个式子可得出封闭环上、下偏差计算的一般公式：
m
n
m
n
s A Amax A ( Ai max Ai min ) ( Ai Ai )
i 1
i 1
i 1
i 1
m

n

s Ai x Ai
i 1
i 1
m
n
也即：






A A4 A5 A6 A1 A2 A3
由此可以推得多环尺寸链的基本尺寸的一般公式：
对于任何一个总数为N的独立尺寸链，若其中增环数为m， 由于其封闭环只有有一个，则减环数n为n=N－1－m。故：
m
n
A Ai Ai
i 1
i 1
上式说明：尺寸链封闭环的基本尺寸，等于各增环基本 尺寸之和，减去各减环基本尺寸立和。
3.已知封闭环及部分组成环，求其余组成环 根据封闭环和其他组成环的基本尺寸及公差（或偏差）
来计算尺寸链中某一组成环的基本尺寸及公差（或偏差）。
其实质属于反计算的一种，也可称作“尺寸链的中间计 算”。这种计算在工艺设计上应用较多，如基准的换算，工 序尺寸的确定等。
总之，尺寸链的基本理论，无论对机器的设计，或零件 的制造、检验，以及机器的部件（组件）装配，整机装配等， 都是一种很有实用价值的。如能正确地运用尺寸链计算方法， 可有利于保证产品质量、简化工艺、减少不合理的加工步骤 等。尤其在成批、大量生产中，通过尺寸链计算，能更合理 地确定工序尺寸、公差和余量，从而能减少加工时间，节约 原料，降低废品率，确保机器装配精度。
L1
L2 L3
L4
L5
L∑
A∑
A2
A1
并联
L1
L2
L3
L∑
A∑
A2
A1
串联
B1
B2
A∑
A2
B3
共同基面
B∑
C2 C1 C∑
A1
共同基面
混联
公共环同属于不同尺寸链中，公共环尺寸及公差改变将 同时影响各个尺寸链，所以，在解尺寸链时，一般不轻易改 变公共环尺寸。
§4.2 尺寸链的计算方法
尺寸链的计算方法，有如下两种： (1) 极值解法：这种方法又叫极大极小值解法。它是按误差综 合后的两个最不利情况，即各增环皆为最大极限尺寸而各减 环皆为最小极限尺寸的情况；以及各增环皆为最小极限尺寸 而备减环皆为最大极限尺寸的情况，来计算封闭环极限尺寸 的方法。
它形式。当零件尺寸为正态分布曲线时，其偶然误差ε与均方
根误差σ间的关系，可表达为：
ε=6σ 即பைடு நூலகம்
6 若尺寸链中各组成环的误差分布，都遵循正态分布规律时，
则其封闭环也将遵循正态分布规律。若取公差带T=6σ，则封闭 环的公差与各组成环的公差关系可表示为：
正态分布各环公差计算公式
N 1
T Ti2 i 1
l3
工序三
工序1；车外圆，车两端面后得L1=40 工序2；车一端幅板，至深度L2. 工序3：车另一端帽板，至深度L3。并保证10士0.15。
由上述工序安排可知，幅板厚度10士0.15是按尺寸L1、 L2、l3加工后间接得到的。因此,为了保证10士15，势必对L1， L2，L3的尺寸偏差限制在一定范围内。即已知封闭环L∑ =10 士0.15，求出各组成环L1，L2，L3尺寸的上下偏差。
A1 A∑ A2 A3
L2
L3 L∑ L4
L1
A1 A∑ A2 A3
L2
L3 L∑ L4
L1
3. 组成环 一个尺寸链中，除封闭环以外的其他各环，都是“组成
环”。按其对封闭环的影响可分为增环和减环。
表示为：Ai 、Li i=1,2,3……
增环：在尺寸链中，当其余组成环不变的情况下，将某一组 成环增大，封闭环也随之增大，该组成环即称为“增环”。
§4.2 尺寸链计算的基本公式 尺寸、偏差及公差之间的关系：
T/2 T/2 ΔmA
Am
A max ΔsA
A min A
ΔxA
尺寸链计算所用符号
尺寸链各环的基本尺寸计算
下图为多环尺寸链
A1
A2
A4
A5
A∑
A3
A6
各环的基本尺寸可写成等式为：






A1 A2 A A3 A4 A5 A6
闭环的基本尺寸及公差（或偏差），称为“尺寸链的正计 算”。这种计算主要用在审核图纸，验证设计的正确性。
如下例：
例如齿轮减速箱装配 后，要求轴承左端面 与左端轴套之间的间 隙为L∑ 。此尺寸可通 过事先检验零件的实 际尺寸L1、L2、L3、 L4、L5 ，就可预先知 L∑的实际尺寸是否合 格?
L5
L∑ L2
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
即：
N 1
T


T i
i 1
结论：
封闭环公差等于所有组成环公差之和，它比任何组成环公
差都大。所以应用中应注意：
(1) 在零件设计中，应选择最不重要的环作为封闭环。 (2) 封闭环公差确定后，组成环数愈多，则分到每一环的公
差应愈小。所以在装配尺寸链中，应尽量减小尺寸链的环数。
m
n
x A Amin A ( Ai min Ai max ) ( Ai Ai )
i 1
i 1
i 1
i 1
m

n

x Ai s Ai
i 1
i 1
因为零件图和工艺卡片中的尺寸和公差，一般均以上、下偏 差的形式标注，所以该式较为简便迅速
非正态分布时各环公差计算：
当零件尺寸分布下为非正态分布时，封闭环公差计算时须 引入“相对分布系数K”。K表示所研究的尺寸分布曲线的不同 分布性质，即曲线的不同分布形状。
正态分布时： T 6 , T
6
非正态分布时： K T
6
所以，封闭环公差的一般公式为：
N 1
T

K2 i



2 i
i 1
其中： i ( Ai A)
-3δ
+3δ
这是用概率法解尺寸链的数学基础，它反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
1. 各环公差计算
N 1




2 i
反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
i 1
由于尺寸链计算时，不是均方根偏差间的关系，而是以误
差量（或公差）间的关系来计算的，所以上述公式需改写成其
第四章 工艺尺寸链
§4.1 尺寸链的定义和组成 一、尺寸链
尺寸链指的是在零件加工或机器装配过程中，由相互联系 的尺寸形成的封闭尺寸组。
A1 A∑ A2 A3
L2
L3 L∑ L4
L1
L2
L3 L∑ L4
L1
A1 A∑ A2 A3
1.尺寸链的分类 (1)出现在零件中，称之为零件尺寸链 (2)由工艺尺寸组成，称之为工艺尺寸链 (3)出现在装配中，称之为装配尺寸链
(2) 封闭环的尺寸自己不能保证，是靠其它相关尺寸来保证 的。
2.2 封闭环的重要性:
(1) 体现在尺寸链计算中，若封闭环判断错误，则全部分析 计算之结论，也必然是错误的。
(2) 封闭尺寸通常是精度较高，而且往往是产品技术规范或 零件工艺要求决定的尺寸。
在装配尺寸链中，封闭环往往代表装配中精度要求的尺寸； 而在零件中往往是精度要求最低的尺寸，通常在零件图中不予 标注。

T2 i
i 1
各种K值可参考图表：
一些尺寸分布曲线的K及e值
若各组成环公差相等，即令Ti = TM 时，则可求得各环的 平均公差为：
ΔsA2 A∑ A∑min
T1
ΔsA1
ΔsA1
三环尺寸链极限尺寸计算关系图
当多环尺寸键计算时，则封闭环的极限尺寸可写成一般 公式为：
m
n
A A A max
i max
i min
i 1
i 1
m
n
A A A min
i min
i max
i 1
i 1
2.各环上、下偏差的计算
2. 尺寸链的含义 尺寸链的含义包含两个意思：
(1)封闭性：尺寸链的各尺寸应构成封闭形式（并且是按照 一定顺序首尾相接的。
(2)关联性：尺寸链中的任何一个尺寸变化都将直接影响其 它尺寸的变化。
二、尺寸链的有关术语
1. 尺寸键的环 构成尺寸链的每一个尺寸都称为“环”。

可分为
组成环 Ai

彼此并无关系，因此可将它们看成是相互独立的随机变量。相
互独立的随机变量。经大量实测数据后，从概率的概念来看，
有两个特征数：
（1）算术平均值 A ——这数值表示尺寸分布的集中位置。
（2）均方根偏差 δ ——这数值说明实际尺寸分布相对算术平
均值的离散程度。
A(算术平均）
独立随机变量之和的均方差为:
N 1
二、极值解法
1.各环极限尺寸计算 当增环为最大极限尺 寸，而减环为最小极 限尺寸时，封闭环为 最大极限尺寸。