小学奥数计数练习题：排列与组合经典的排列与组合奥数题及答案
问题：小明所在的班级要选出4名中队长，要求每位同学在选票上写上名字，也能够写自己的名字。

结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。

当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象：就是任意取出2张选票，一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。

请问：小明所在的班级共有多少人?
总体逻辑思路：首先，假设题目所说的情况存有。

然后，得出班级人数。

最后，构造出一个例子，说明确实存有这种情况。

我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。

思路简介：我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。

因为平均每人被选了4次，既然没有人被选了4次以上，肯定也不存有被选了4次以下的人。

所以，能够得到每个人恰好被选了4次。

首先证明没有人被选了4次以上，我们用反证法。

假设有一个人被选了4次以上(因为很容易证明这个班的人数肯定很多于7人，所以我们能够假设有一个人被选了4次以上)，我们设这个人为A同学。

接下来我们来证明这种情况不存有。

把所有选择A同学的选票集中到一起，有5张或5张以上。

方便起见，我们把这些选票编号，记为A1选票，A2选票，A3选票，A4选票，A5选票，…。

意思就是选择A同学的第1张选票，选择A同学的第2张选票，…。

这些选票都选择了A同学。

因为任意2张选票有且只有1个人相同，所以这些选票上除了A同学外，其他都是不同的人。

我们还能够证明，这些并不是全部的选票，不是太难，就不证明了。

既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票，我们再拿一张没有选择A同学的选票。

方便起见，称之为B选票。

根据任意2张选票有且只有1个人相同，A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。

同样道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。

因为B选票上只有4个不同的人，而A1、A2、…，的数量大于4.所以，A1、A2、A3、…选票中至少有2张选票，除了A同学外还有一个共同的候选人。

根据任意2张选票有且只有1个人相同，我们知道这是不能够的。

所以，没有人被选了4次以上。

因为平均每人被选4次，既然没有人被选4次以上，当然也就不可能有人被选4次以下。

所以，每个人恰好被选了4次!。