矩阵分块法
A 11 B11 A 1r B1r AB . A B A B s1 s1 sr sr 2. 分块数乘 A 11 A 1r 设分块矩阵 A ， k 为常数，则 A s1 A sr kA 11 kA 1r kA . kA s1 kA sr
大规模集成电路本身的矩阵，而其它子矩阵则与这三块 芯片之间的相互联系有关. 考虑矩阵分块的原则是使分块后的子矩阵中有便于 利用的特殊矩阵，如单位矩阵、零矩阵、对角矩阵、三 角矩阵等. 如果把分块矩阵的每一子块当成矩阵的一个 元素，可以按矩阵的运算法则建立分块矩阵对应的运算 法则，下面讨论分块矩阵的运算.
E C kE kC kA k 则 , 0 E 0 k E E C D 0 E D C AB , 0 0 E F E F E C D 0 D CF C AB . E 0 E F E F 然后分别计算 kE, kC, E D, D CF 代入以上各式，得
a12 a 22 am 2
a1n a2 n , 它有 m行，若第i 行记作 a mn
1 T A 2 . T m
T
α i ai1 , ai 2 , , ain i 1,2,, m , 则矩阵 A 便记为
A1 A A2 ， 则称 A 其中每一个 A i (i 1,2, , s ) 都是方阵， As
是分块对角阵，也叫做准对角矩阵. 可以证明，分块对角矩阵的乘积还是分块对角矩阵. 对矩阵分块时，有两种方法应予以重视，这就是按行分 块和按列分块.
即 x1 1 x2 2 xn n b. 以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 时，把
i
上一页 返回 下一页
例如，若一个微型计算机电路板主要有 3 块超大规 模的集成芯片组成，那么电路板的矩阵可以写成一般形 式
A 11 A A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 , A 33
A 的“主对角线”上的子矩阵，即 A11 ， A 22 ， A 33 是有关超
上一页 返回 下一页
k 0 kA 0 0
0 k k 2k 0 k 0 0
3k 2 2 4k 2 1 ,A B 0 6 3 0 2 k
1 2 0 0
3 4 , 0 0
3 7 1 1 14 2 2 4 AB . 6 3 1 0 0 2 0 1
§1.3 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、分块运算 三、按行分块与按列分块 习题1.3
上一页 返回 下一页
一、矩阵的分块
在处理阶数较高的矩阵运算时，常采用分块法使大矩 阵的运算化成小矩阵的运算 . 我们将矩阵 A 用若干条纵线 和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以 子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 根据矩阵的特点、运算内容或分析论证的需要可选择 适当的分块方法. 例如五阶方阵
上一页 返回 下一页
3. 分块乘法 设 A 为 m l 矩阵，B 为l n 矩阵，分块成
A 11 A 1t B11 B1r A ， B , A A B B s1 t1 st tr C11 C1r t C 则 AB ,其中 ij A ik B kj (i 1,2, s; j 1,2, r ). k 1 C C s1 sr 3 1 0 1 1 2 0 0 0 1 2 4 2 0 0 0 , B , 计算 例 1 设矩阵 A 0 0 1 0 6 3 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 kA, A B, AB.
x1 x2 β1 , β 2 , , β n b, x n
即 x1 1 x2 2 xn n b.
上一页 返回 下一页
以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 时，把 A 按行分块，有
Λ m A m n λ1 λ2 1 λ1 1 T T 2 λ2 2 , T T λm m λm m
这就相当于把每个方程 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 记作 i x b i (i 1,2,, m).
T
如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块， 与 A 相乘的 从而线性方程组 Ax b x 应对应地按行分成 n 块， 可记作
上一页 返回 下一页
x1 x2 β1 , β 2 , , β n b, x n
,
A11 2 1 A 22 ,则 A 可表示成 A A 21 0 2
A12 E 3 A 22 0
A12 . A 22
对后一种方法，并用 ε1 , ε 2 , ε 3 , A 4 , A 5 依次表示 A 的各 列（ ε 常用来表示单位矩阵 E 的第 i 列） ，则 A 又可表示成 A ε1 , ε 2 , ε 3 , A 4 , A 5 . 注意分割线的纵横线必须分割到底.
A(aij)称为系数矩阵 x(x1 x2 xn)T 称为未知数向量 b(b1 b2 bm)T 称为常数项向量 B(A b)称为增广矩阵
上一页 返回 下一页
解向量
按行分成 如果把系数矩阵 T α1 b1 T 块，则线性方程组 α 2 b2 可记作 x . T α b m m
T T
m
可见，以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 的结果是 A 的每一行乘以 Λ 中与该行对应的对角元. 以对角矩阵 Λ n 右乘矩阵 A m n 时，把 A 按列分块，有
上一页 返回 下一页
三、按行分块与按列分块
设 A (a
T
) ij m n
a11 a 21 a m1
上一页 返回 下一页
二、分块运算
1. 分块加法 设矩阵 A,B 是同型矩阵，采用相同的分块法，有 A 11 A 1r B11 B1r A ， B , A B B s1 A sr s1 sr 其中 A ij 与 Bij 是同型矩阵，则
1 0 A 0 0 0 0 0 1 2 1 0 3 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 2
可以有多种分块法，以下是其中的两种：
上一页 返回 下一页
1 0 0 0 0
0 0 1 2 1 1 0 3 0 0 0 1 1 1 ， 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0
把它写成矩阵形式 Ax b ，其中 A 为系数矩 ~ 矩 阵 A 按 分 块 矩 阵 的 记 法 ， ~ A A b β 1 , β 2 , , β n , b .
上一页 返回 下一页
如果把系数矩阵 A 按行分成 m块，则线
线性方程组的矩阵表示形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 Axb am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
同理，m n矩阵 A 有 n 列， 若第 j 列记为 则 A ,
1
a1 j a2 j β j j 1,2,, n , a mj
上一页 返回 下一页
2 , , n .
a11 x1 a12 x2 a1n x a x a x a x 21 1 22 2 2n 对于线性方程组 a m1 x1 a m 2 x2 a mn x
此题直接求 kA, A B, AB会容易些，但为了突 出分块的特点，这里选择了分块矩阵的运算，对于 阶数较高的矩阵来说，分块运算会带来很大的方便.
上一页 返回 下一页
4. 分块转置
设
A 11 A 21 A A s1
T T
A 12 A 22 A s2
T
A 1r A 2r , A sr
上一页 返回 下一页
T α1 b1 T α2 b2 x . T b α m m
这 就 相 当 于 把 每 个 方 程 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 记 作 T i x b i (i 1,2,, m). 如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，与 A 相乘的 x 应对应 地按行分成 n 块，从而线性方程组 Ax b 可记作
对前一种分法，记
0 0 0 A 21 0 , 0 0 0
0 0 1 2 1 0 3 0 0 1 1 1 . 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 A 11 E 3 0 1 0 0 0 1
,
1 2 A 12 3 0 1 1
则
A 11 A 21 A s1 T T T A 22 A s 2 A 12 T A . T T T A A A 1r 2r sr 即分块矩阵的转置，是将它的行列依次互换，
同时将各子块转置.
上一页 返回 下一页
5. 分块对角阵 设 A为 n 阶方阵，又 A 的分块矩阵只有主对角线上有非零 子块，其余子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即
解
