为 n(x, y,0)
r uuur
O
nAB0
B(0,b,0) y
r 11
n ( , ,0)
a bx
A(a,0,0) A
6
类比迁移
结论1
1.平面ABCD//z轴，在x轴、y轴上的截距分别
为a、b，则平面ABCD的一个法向量 ( 1 , 1 , 0 ) ab
2.平面ABCD//x轴，在y轴、z轴上的截距分别
r n1
(0,
1
,
2)
24
A
G(0,2,0)
F
z A1(0, 0, 2 2 )
E
B
OyxFra bibliotekDAC
14
巩固练习
练2.已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为 3
的等腰梯形，将他沿对称轴OO1折成直二面角，求 平面OAC和ACO1的一个法向量. z
D O1 C
O1( 0 ,
0, C
3) ( 0 , 1,
M (1, 2 ,1)
B1
r n
(
1
,
1
,
z)
D O
xy
C y
A
A
x
B (1,1,0)
4
问题2：在长宽高分别为2,1,2的长方体AC1中r，uuur
求平面AC1的一个法向量.
ngAA1 0,
u u u r
u u u r
解：A C ( 1 ,2 ,0 ) ,A A 1 ( r0 ,0 ,2 ) ,
z
N
D1
Q
C1
P
A1
M(0,-2,0)
D O
R(1,0,0)
A(2,0,0)A x
B1(2,2,2) C(0,2,0) y
B(2,2,0)
13
直击高考
（2010浙江理数改编）在矩形ABCD中，点E、F分 别在线段AB、AD上，AE=EB=AF2 = FD=4.沿直线 EF将△AEF翻折成△A1EF，使平面3 A1EF⊥平面BEF. 求平面A1FD的一个法向量.
分别为a、b、c，则平面ABC的一个法向量为
(1 ,1 ,1) ___a___b___c ___
z C (0,0,c)
O x A (a,0,0)A
B (0,b,0) y
10
探究规律
结论3 平面ABC在x轴,y轴,z轴上的截距分别为a,b,c， 则平面ABC的一个法向量为 ( 1 , 1 , 1 )
问题3：平面ABCD//z轴，在x轴、y轴上的截
距分别为a、b，则平面ABCD的一个法向量为
(1 ,1 ,0) ___u au _u r __b ______ u u u r
z
解：A B ( a ,b ,0 ) ,B C ( 0 ,0 ,c ) ,
C(0,b,c)
设平r 面ABCD的一个D法向量
为b、c，则平面ABCD的一个法向量 ( 0 , 1 , 1 ) bc
3.平面ABCD//y轴，在x轴、z轴上的截距分别
为a、c，则平面ABCD的一个法向量 ( 1 , 0 , 1 ) ac
A
7
探究规律
问题4：平面AOBD，O是原点，A在z轴上
点B(a,b,0),则平面AOBD的一个法向量为
( 1 , 1 ,0) ____a__b______
ab
2.平面AOBD,O是原点,A在x轴上点B(0,b,c), 则平面AOBD的一个法向量为 ( 0 , 1 , 1 )
bc
3.平面AOBD,O是原点,A在y轴上点B(a,0,c),
则平面AOBD的一个法向量为 ( 1 , 0 , 1 )
A
a c9
探究规律
问题5：平面ABC在x轴、y轴、z轴上的截距
解：M u u u C u r1(1,1 2,0),u B u C u u r1( r1,0,1)
(1)gx1y0gz0 2
设平面BMC1的一个法向量为 n(1,2,z)
r uuuur
r
nBC1
0
z
1
n(1,2,1)
z
反思1r： 跟向量a =(x,y,0)垂直
D1 1
C1(0,1,1)
的法向量可设为 A1
0gx0gy2gz0
nr设平uAu面C urA C10的 一个法x 向2量y为z0n (nrx,y,(10,)12 , 0)
反思2r ：
D1
跟向量a =(x,0,0)垂直
C1(0,2,2)
的法向量可设为 A1 (1,0,2)
B1
r n(0,y,z)
D
C(0,2,0)
O
y
A(1,A0,0)
B
5
x
探究规律
abc
A
11
练1：在棱长为2的正方体AC1中,P,Q,R分别为棱
A1D1,C1D1, AD的中点,求以下平面的一个法向量.
(1)面RCD1; (1 , 1 , 1 ) (2)面PRCC1; 2 2
(1, 1 , 0 ) 2
z
D1(0,0,2) P(1,2,0)
A1
B1
D
O
R(1,0,0)
A
A
B
x
C1
z
u u u r u u u r
解：O A (0 ,0 ,c ) ,O D (a ,b ,0 )A(0,0,c)
设平r 面OABD的一个法向量
为 n(x, y,0)
r uuur
nOD0
O
nr (1,1,0)
x
ab
A
B
y D(a,b,0)
8
类比迁移
结论2
1.平面AOBD,O是原点,A在z轴上点B(a,b,0), 则平面AOBD的一个法向量为 ( 1 , 1 , 0 )
C(0,2,0) y
12
练1：在棱长为2的正方体AC1中,P,Q,R分别为棱
A1D1,C1D1, AD的中点,求以下平面的一个法向量.
(3)面PQAC; ( 1 , 1 , 1 )
( 1, 1 , 0 )
(4)面PRBB1; 2 2 4 T(0,0,4)
2
反思通3：过延长线段找平
面与坐标轴的交点
在空间直角坐标系下求平面 的法向量
A
1
在空间直角坐标系下， 如何求平面的法向量？
r 1.设平面α的法向量 n(x,y,z)
rr 2.在平面α内找两个不共线的向量 a , b
rr rr 3.由 na0,n 得b 到 关0 于x,y,z的三元一次
方程组，解之可得平面的法向量
α
A
2
特殊平面的法向量
1.平面ABCD//y轴和z轴，则平面ABCD的 一个法向量为__(_1_,0_,_0_) _
2.平面ABCD//x轴和z轴，则平面ABCD的 一个法向量为_(_0_,_1_,0_)__
3.平面ABCD//x轴和y轴，则平面ABCD的 一个法向量为__(0__,0_,_1_) _
A
3
问题1：在棱长为1的正方体AC1中，M为棱Ar1Bu1uuur
的中点，求平面BMC1的一个法向量.
ngMC1 0
3)
D
A
O
B
O
x A (3, 0, 0)
r
3
n1 (0, 1, )
3
r n2
(1
, 0,
3)
A3 3
y B
15
巩固练习
练3.直三棱柱AC1中，∠ACB=90°，AC=1，
CB= 2 ,侧棱AA1=1，侧面AA1BB1的两条对角线