测试技术习题例题-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII习题1 求如图所示周期三角波的傅立叶级数表示，并画出频谱图。

解：x(t)的一个周期可表示为：t T AA 02+020≤≤-t T =)(t xt T AA 02-200T t ≤< 常值分量：A dt t T AA T dt t x T a TT T =-==⎰⎰-)2(4)(220022000000余弦分量的幅值： =-==⎰⎰-tdt n t T AA T tdt n t x T a TT T n 020022000cos )2(4cos )(2000ωω224πn An=1,3,5… =2sin 4222ππn n A 0 n=2,4,6…正弦分量的幅值：0sin )(2220000⎰-==T T n tdt n t x T b ω这样，该周期三角波的傅立叶级数展开式为：t n nA A t t t A A t x n 0122020202cos 1425cos 513cos 31cos 42)(ωπωωωπ∑∞=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=000练习2 求指数衰减振荡信号t e t x at 0sin )(ω-=的频谱函数。

解一：22000)()(000)(00)(121)(1)(1221][221)()(2sin sin 21sin 21)(0000ωωπωωωωππωωωπωπωωωωωωωωω++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=-=-===⎰⎰⎰∞-+-++--∞+-∞--j a j j a j j a j dt e e j X e e jt tdt e dt te e X tj j a t j j a t j t j t j a t j at解二：[])()(22sin 000f f f f jt f --+⇔δδπ fj a e at π21+⇔-)()()(T t x T t t x ±=±*δ)()()()(f Y f X t y t x *⇔•[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=--+*+⇔∴-000002)2(12)2(12)()(2212sin f j f j a f j f j a j f f f f j f j a t f e at ππππδδππ4. 求指数衰减函数的频谱函数，（）。

并定性画出信号及其频谱图形。

解：（1）求单边指数函数的傅里叶变换及频谱（2）求余弦振荡信号的频谱。

利用 函数的卷积特性,可求出信号的频谱为其幅值频谱为a a`b b`c c`题图信号及其频谱图注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。

练习3 已知信号x(t)的傅立叶变换为X(f),求t f t x t f 02cos )()(π=的傅立叶变换。

解一：⎰∞∞--=dt e t x F t j ωπω)(21)([])()(21)()(41)(21)(21cos )(2100)()(000ωωωωππωπωωωωωωωω++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+==⎰⎰⎰⎰∞∞-+-∞∞---∞∞---∞∞--X X dt e t x dt e t x dt e e e t x dt te t x t j t j t j t j tj t j解二：[]2/)()(2cos 000f f f f t f -++⇔δδπ且 )()()(T t x T t t x ±=±*δ[]2/)(2/)(2/)()()(2cos )(00000f f X f f X f f f f f X t f t x -++=-++*⇔δδπ解三：根据信号的线性性好频移性,其频谱为:[][][])()(21)(21)(212)(]2cos )([0000000ωωωωπωωωωω++-=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⇔--X X e t x F e t x F e e t x F t t x F tj t j t j t j1求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出|c n |-ω和ϕ-ω图。

解：(1)方波的时域描述为：(2) 从而：2 .求正弦信号的绝对均值和均方根值。

解(1)(2)例1:求正弦函数的自相关函数。

解：（1）掌握自相关函数的定义，根据计算公式求解。

根据式(2.22)得（2）为解积分，进行变量代换。

式中－是正弦函数的周期，。

令带入上式，则得例2:求两个同频率的正弦函数和的互相关函数。

解：（1）掌握互相关函数的定义，写出其计算公式。

因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故2 .求的自相关函数.其中解：瞬态信号的自相关函数表示为：例1:.某一阶测量装置的传递函数为，若用它测量频率为0.5Hz、1Hz、2Hz的正弦信号，试求其幅度误差。

解：（1）掌握一阶系统的频率响应函数。

当τ=0.04，w=2πf 时（2）掌握一阶系统幅度误差公式。

幅度误差=(1-A(w))×100%根据已知条件，有：f=0.5 HZ,A(w)=0.78%f=1HZ, A(w)=3.01%f=2HZ, A(w)=10.64%2 解：（1）求解串联系统的灵敏度。

（2）求压力值。

3.把灵敏度为的压电式力传感器与一台灵敏度调到的电荷放大器相接，求其总灵敏度。

若要将总灵敏度调到，电荷放大器的灵敏度应作如何调整？解：5.用一阶系统对100Hz 的正旋信号进行测量时，如果要求振幅误差在10%以内,时间常数应为多少？如果用该系统对50Ｈz 的正旋信号进行测试时，则此时的幅值误差和相位误差是多少？解：（1）一阶系统幅频误差公式。

幅值误差为：2.9%，相位差为:-67.540例3-4、设有两个结构相同的二阶测量装置，其无阻尼自振频率n ω相同，而阻尼比不同。

一个是0.1，另一个是0.65。

如果允许的幅值测量误差是10%，问：它们的可用频率范围是多少解：由 %100)0()0()(⨯-=A A A ωε )(ωA 1.0=ξ可知 1.1)(9.0≤≤ωA（1） 求nA ωωξω时的和1.01.1)(== 0 1 3 4 nωω 22221.04111.1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nnωωωω解此方程，得到两个正实数根：304.01=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n ωω366.12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nωω （2） 求nA ωωξω时的和65.01.1)(== 222265.04111.1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nnωωωω此方程在实数范围内无解，即65.0=ξ的频率响应曲线的极大值小于1.1。

（3） 求当.1.09.0)(nA ωωξω时，== 22221.04119.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nnωωωω得：44.1=nωω（4） 求当.65.09.0)(nA ωωξω时，==222265.04119.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nnωωωω得一正实根：815.0=nωω（5） 工作频率范围：对1.0=ξ，304.0~0=nωω对65.0=ξ，815.0~0=nωω由此例可见，阻尼比显著影响二阶测量系统的可用频率范围。

当,65.01.0增至由ξ其可用频率范围由815.0~0304.0~0增至=nωω，扩大了1.68倍。

例3-3：求周期信号)45100(2.010cos 5.0)( -+=t t t x ，通过传递函数为)1005.0/(1)(+=s s H 的装置后所得到的稳态响应。

解：输入信号为 )()()(21t x t x t x +=，此装置对所给输入信号x(t)有线性叠加性和频率保持性。

设：t t x 10cos 5.0)(1=，即 0/105.011===θω，，s rad x）（ 45100cos 2.0)(2-=t t x ，即 45/1002.022===θω，，s rad x测试装置为一阶系统，s 005.0=τ。

装置对该两频率信号分量的增益（幅值比）和相移分别为：86.2005.010)(999.0)10005.0(11)()(1211-=⨯-==⨯+==arctg A j H ωϕωω5.26005.0100)(894.0)100005.0(11)()(1222-=⨯-==⨯+==arctg A j H ωϕωω由叠加性和频率保持性，测试装置对输入x(t)的稳态响应y(t)为：)5.2645100cos(2.0894.0)86.210cos(5.0999.0)( --⨯+-⨯=t t t y)5.71100cos(179.0)86.210cos(499.0 -+-=t t例3-1 设有一阶环节其时间常数s 1.0=τ，输入一简谐信号，问：输入信号频率为多少时，其输出信号的幅值误差不大于6%这时输出信号的滞后角是多少解：一阶环节： 211)(/)(ωτω+=A允许幅值误差：06.0)(1)0()()0(≤-=-=ωωεA A A A1)(≤ωA ∴ 94.0)(≥ωA s 1.0=τ代入上式，得 94.0)1.0(1/12≥+ω 解之 s rad /63.3≤ω95.1963.31.0)(-=⨯-=-=arctg arctg τωωϕ 从此例可看出，给定一个测量装置，若其时间常数τ相应确定，这时若再规定一个允许的幅值误差ε，则允许它测量的最高信号频率max ω也相应确定。

既m ax ~0ωω=为可用频率范围。

当被测信号频率在此范围内时，幅值测量误差小于允许值。

上例中，可用频率范围是：Hz f s rad 578.0~0/63.3~0==既ω。

例2、设另有一个一阶环节，其时间常数s 2.0=τ。

设输入信号的频率s rad /63.3=ω。

问此情况下?)(),(=ωϕωA解：%8181.0236.1/1)63.32.0(1/1)(1/1)(22===⨯+=+=ωτωA3663.32.0)(-=⨯-=-=arctg arctg ωτωϕ将例1和例2比较可看出，由于时间常数由0.1s 加大到0.2s ，幅值衰减率由6%加大到1-81%=19%。

而滞后角则由 3695.19加大到，0)(→∞→ωωA 时，当。

一阶环节实际上是一个低通滤波器。

它只允许低频信号通过，高频则剧烈衰减。

4.用一时间常数为2s 的温度计测量炉温时，当炉温在200℃—400℃之间，以150s 为周期，按正弦规律变化时，温度计输出的变化范围是多少？解： （1）已知条件。

（2）温度计为一阶系统，其幅频特性为2211()0.99721()1(2)150A ωπωτ===++⨯（3）输入为200℃、400℃时，其输出为：y=A(w)×200=199.4(℃) y=A(w) ×400=398.8( ℃)例3-5、设有一力传感器，可视为二阶系统来处理，已知传感器的固有频率为1000Hz ，阻尼比4.0=ξ，用传感器测量频率为500Hz 的正弦外力时，会产生多大的振幅误差和相位误差？解：5.01000500==n ωω 4.0=ξ 则 2222411)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nnA ωωξωωω18.14.04112222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nnωωωω %18%100)118.1(%1001)(%100)0()0()(=⨯-=⨯-=⨯-=ωωεA A A A285.015.04.0212)(22-=-⨯⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=arctg arctg n n ωωωωξωϕ 即输出相位将延迟28·1．以阻值，灵敏度S=2的电阻丝应变片与阻值为的固定电阻组成电桥，供桥电压为2 V ，并假定负载为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με是，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。