第四节电位移有电介质时的高斯定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：8-4 电位移 有电介质时的高斯定理在高斯面内不仅会有自由电荷，而且还会有极化电荷。

这时，高斯定理应有些什么变化呢？ 我们仍以在平行平板电容器中充满各向同性的均匀电介质为例来进行讨论。

在如下图所示的情形中，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内，端面的面积为S 。

设极板上的自由电荷面密度为0σ，电介质表面上的极化电荷面密度为σ'。

由高斯定理，有⎰'-=⋅sQ Q 00)(1d εS E （8-12）式中Q Q '和0分别为S Q S Q σσ'='= 00和。

我们不希望在式（8-12）中出现极化电荷，利用前节讨论的结果，我们可以计算出r 00/εQ Q Q ='- （8-13）把它代入（8-12）有⎰=⋅sQ r 00d εεS E或⎰=⋅sQr0d S E εε （8-14）现在不妨，令E E D εεε==r 0 （8-15）其中εεε=r 0叫做电介质的电容率。

那么式（8-14）可写成⎰=⋅sQd S D （8-16）式中D 称作电位移，而⎰⋅sSD d 则是通过任意闭合曲面S 的电位移通量。

D 的单位为2m C -⋅讨论：证明:关于r Q Q Q ε00='-的证明电介质中的电场强度E 应为E E E '+=0考虑到E '的方向与0E 的方向相反，以及E 与E '的关系式（8-9），可得电介质中电场强度E 的值为r 00εE E E E ='-=故rr 1E E εε-='因为 0/εσ'='E ，000/εσ=E从而可得 0rr 1σεεσ-='由于S Q 00σ=、S Q σ'='，故上式亦可写成0rr 1Q Q εε-='即r Q Q Q ε00='-式（8-16）虽是从平行板电容器得出的，但可以证明在一般情况下它也是正确的。

故 有电介质时的高斯定理可叙述如下：在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为⎰⋅sS D d ∑==ni iQ10 （8-17）可以看出，电位移通量只和自由电荷联系在一起。

电位移矢量D ，电场强度E 和电极化强度P 之间的关系为P E D +=0ε （8-18）讨论：E 、D 和P 之间的关系下面简述一下电介质中电场强度E ，电极化强度P 和电位移D 之间关系。

设平板电容器两极板间充满了相对电容率为r ε的均匀电介质，在电介质中，极化电荷面密度为σ'，由极化电荷产生的电场强度0εσ'='E （1）介质中的电场强度E E E '-=0 （2）实验证实r1E E ε=（3）由式（2），式（3）得rr 1E E εε-=' （4）将式（1）代入式（4）并利用σ'=P ，可得电介质中电极化强度P 与电场强度E 之间的关系为E P 0r )1(εεσ-='=写成矢量有E P 0r )1(εε-= （5）电位移矢量的定义式E D r 0εε= （6）由式（5）和式（6），可得E P D 0ε+=该式虽然是从各向同性电介质的情形得到的，但无论是各向同性的或是各向异性的电介质都适用。

也就是说，在一般情况下，D 是两个矢量之和。

可见，D 是在考虑了电介质极化这个因素的情形下，被用来简化对电场规律的表述而设定的。

一、 例题1例1 把一块相对电容率3r =ε的电介质，放在极板间相距mm 1=d 的平行平板电容器的两极之间。

放入之前，两极板的电势差是1000V 。

试求两极板间电介质内的电场强度E ，电极化强度P ，极板和电介质的电荷面密度，电介质内的电位移D 。

解 放入电介质前，电容器中的电场强度为13130m kV 10m V 101000---⋅=⋅==d U E放入电介质后，由式（8-9）知电介质中的电场强度为1216r 0m kV 1033.3m V 310--⋅⨯=⋅==εE E由式8-15可得电介质中的电位移为26000r 0m C 1085.8--⋅⨯====σεεεE E D由式8-18可得电介质的电极化强度为260m C 1089.5--⋅⨯=-=E D P ε无论两极板间是否放入电介质，两极板自由电荷面密度的值为262612000m C 1085.8m C 101085.8----⋅⨯=⋅⨯⨯==E εσ由式（8-11），电介质中极化电荷面密度的值为26m C 1089.5--⋅⨯=='P σ二、例题2一平行平板电容器充满两层厚度为21d d 和的电介质（图示），它们的相对电容率分别为r2r1εε和，极板面积为S 。

求（1）电容器的电容；（2）当极板上的自由电荷密度的值为0σ时，两介质分界面上的极化电荷面密度。

解 （1）设两极板上电荷面密度分别为+0σ和-0σ，两电介质中的电场强度分别为21 E E 和。

在图中，选上、下底面积为1S 的正柱面为高斯面，上底面在导体极板内，下底面在相对电容率为r1ε的电介质内，侧面的法线与电场强度 1E 垂直。

柱面内自由电荷为100S Q σ=。

根据电介质中的高斯定理，有⎰=⋅1d S σS D得0σ=D由式（8-15）可得相对电容率为r1ε的电介质中的电场强度为r100r101εεσεε==DE仿此可得r2002r 02εεσεε==DE两极板的电势差为)()(d 2211002211002211 r r r r ld d S Q d d d E d E U εεεεεεσ+=+=+=⋅=⎰l E由电容定义，此电容器的电容为1r22r1r2r100d d S U Q C εεεεε+==（2）由式（8-11），（8-18），可得分界面处第一层电介质的极化电荷面密度为r1r11)1(σεεσ-='第二层电介质的极化电荷面密度为r2r22)1(σεεσ-='三、例题3求充有介质的圆柱形电容器的电容。

常用的圆柱形电容器，是由半径为1R 的长直圆柱导体和同轴的半径为2R 的薄导体圆筒组成，并在直导体与圆筒之间充以相对电容率为r ε的电介质（ 图示）。

设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为λλ-+和。

求（1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；（2）电介质内、外表面的极化电荷面密度；（3）此圆柱形电容器的电容。

解 （1）由于电荷分布是均匀对称的，所以电介质中的电场也是柱对称的，电场强度的方向沿柱面的径矢方向。

作一与圆柱导体同轴的柱形高斯面，其半径为)(21R r R r <<、长为l 。

因为电介质中的电位移D 与柱形高斯面的两底面的法线垂直，所以通过这两底面的电位移通量为零。

根据电介质中的高斯定理，有⎰=⋅sS D d l λ，l rl D λ=π2 即得r D π2λ=由r D E εε0/=，得电介质中的电场强度为)( π221r 0R r R r E <<=εελ（1）电介质中的极化强度为λεεεrE D P r r 0π2)1(-=-=（2）由式（1）可知电介质两表面处的电场强度分别为)( π211r 01R r R E ==εελ和)( π222r 02R r R E ==εελ所以，电介质两表面极化电荷面密度（参阅第8-4节）的值分别为π2)1()1(1r r 10r 1R E ελεεεσ-=-='π2)1()1(2r r 20r 2R E ελεεεσ-=-='（3）由式（1）可得圆柱形电容器两极间电势差为ln π2d π2d 12r 0 r 021R R r r U R R εελεελ==⋅=⎰⎰r E把式（2）代入电容器电容定义，可得圆柱形电容器的电容为)/ln(π2ln π212r 012r 0R R lR R l UQ C εεεελλ===单位长度的电容为)/ln(π212r 0R R l C εε=由前面已知，真空圆柱形电容器的单位长度电容为)/ln(21200R R πl C ε=两式相比较，可见0r C C ε=。

四、思考题1. 一般情况下D 、E 、P 分别由什么决定？2. 已知介质中的D 、E ，如何确定介质表面的极化电荷？。