例5.6 某大型计算机软件公司，其人事部最近做了一项调查 研究，发现在两年内离职的雇员中有30％的人是因为对工资 不满意，20％的人是因为对工作不满意，12％的人指出他们 对工资和工作都不满意。那么在两年内离职的公司雇员中， 其离职原因是对工资不满意或对工作不满意的概率是多少？ 解：A＝{离职因为对工资不满意},B={离职因为对工作不满 意}, P(A)=30%, P(B)=20%, P(A∩B )=12%, 则P(A∪B)=P（A）＋P（B）－P（ A∩B ） =0.3+0.2-0.12=0.38
（3）不互斥事件可能是独立的,也可能是不独立的
①例1中,P(A)=30%,P(B)=20%, P(AB)=12%, A、B是不 互斥的，即相容的。而P(AB) ≠P(A)P(B),所以，A、B是不 独立的。 ②某人射击的命中率为90％，A1表示第一枪命中，A2表示 第二枪命中，A1A2表示两枪都命中，P(A1)=P(A2)=90%, P(A1 A2)=81%, P(A1 A2)= P(A1) P(A2)。这时A1、 A2是不 互斥的，也是独立的。
5、基本事件（Elementary event） 简单事件。也叫样本点（Sample point）。一个事件不能 分解成两个或更多事件。在一次试验中只能观察到一个且 仅有一个简单事件。如掷硬币时，只能观察到一个简单事 件“正面”或“反面”。 6、样本空间（Sample space） 基本空间。一个试验中，所有基本事件的全体。如： Ω={正,反}, Ω={1,2,3,4,5,6} 事件可以象集合一样进行运算, 对事件的运算可以得到新 的事件。 *物理学试验在相同的条件下重复时，会有相同的结果产 生。而在统计学中，结果是随机决定的，即使试验在相同 的条件下重复进行，也可能获得完全不同的结果。所以， 统计学上的试验也称为随机试验。
３、主观概率：主观法（Subjective method） 所谓主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结 果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的 概率。它是一个决策者根据本人掌握的信息对该事件 发生可能性的判断。 有些情况下试验结果既不是等可能发生的，也没有相 对频数的数据可用，这时要用主观法。 例5.4 国安队进行下一场足球比赛，获胜的概率有多少？ 获胜、失利、平局不一定是等可能发生的。此外，对于 将要进行的比赛也没有相对频数的数据可用这时估计国 安队获胜的概率，必须对其进行主观评价。
2、 随机事件（Random event） 在相同条件下，每一次试验可能出现也可能不出现的事件， 也叫偶然事件。如掷硬币正、反面都可能出现也可能不出 现。用英文大写字母表示，如A，B，C等。概率论主要研 究对象为随机事件，简称“事件”。 3、必然事件（Certain event） 在相同条件下，每次实验一定出现的事件。用Ω表示。 如：事件（点数小于7）在掷骰子中每次必然出现 4、不可能事件（Impossible event） 在相同条件下，每次试验一定不出现的事件。用Φ表示。 如：事件（点数大于7）在掷骰子试验中为不可能事件。
解： 50个球中任取两球的取法是有限的，并且任意 从 两球被抽到的概率是相同的，所以，可以用古典概率 解决该问题。 C1 × C1 30 × 20 24 P(一白一黑)＝ 30 2 20 = = , 50 × 49 49 C50 2 30 × 29 2 C 87 , P(两白)＝ 30 = 2 ×1 = 2 50 × 49 245 C50 2 ×1 20 × 19 2 C 38 P(两黑)＝ 20 = 2 × 1 = 2 C50 50 × 49 245 2 ×1
(2) 独立性（Independence) 独立性（
独立事件(Independent events): 两个事件中不论哪个事件发生与否并不影响另一个事件发 生的概率，称这两个事件相互独立。 相依事件： 一个事件的发生与否会影响另一个事件发生的概率。 两个事件独立时，其条件概率等于无条件概率。 P（B|A)=P(B), P(A|B)=P(A), P(AB)=P(A)P(B) 两个事件A、B是相互独立的，当且仅当，P(AB)=P(A)P(B)
m n m n 1 Cn = n, 0 Cn = 1
2、概率的统计定义：相对频率法（Relative frequency method) 在相同条件下，随机试验ｎ次，某事件A出现ｍ次（ｍ ≤ｎ），则比值m/n称为事件A发生的频率; 随着ｎ的增 大,该频率围绕某一常数ｐ上下波动,且波动的幅度逐渐 减小,趋向于稳定,这个频率的稳定值,即为该事件的概率, 记为P(A)=m/n＝ｐ 例5.3 假设某个公司正在准备销售某一新产品,为了估计 顾客购买此产品的概率,进行了一次市场评估,一共联系 了400名顾客,结果有100名购买了该产品,而300人未购买。 P（购买）＝100/400=0.25, P(不购买)=300/400=0.75。
二、事件的概率定义 事件的概率（Probability）：事件在试验中出现的可能性 大小。事件A的概率用P(A)表示。对概率的理解有三种定 义： 1、概率的古典定义（Classical method） 如果（1）某一随机试验的结果有限；（2）各个结果出 现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包 含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数n的 m 比值。
如果A1,A2,…,Aｎ相互独立,则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 例5.8 某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机 床不需要看管的概率：甲机床0.9,乙机床0.8,丙机床0.85.若机床 是自动机床且独立工作,求(1)在30分钟内三台机床都不需要看 管的概率;(2)在30分钟内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需 要看管的概率。 解：设A1、A2、A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， 则A3为丙机床需要看管的事件。 (1)P( A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9×0.8 ×0.85=0.612; (2)P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)＝ 0.9×0.8 ×(1-0.85)=0.108
(2)事件的并 A和B的并(Union of A and B)是所有的属于A或B或同时属 于二者的样本点构成的事件.记作A∪B
样本空间
A B (3)事件的交 (3) A和B的交(Intersection of A and B)是同时属于A和B的样本 点构成的事件。记作A∩B
A
B
加法公式： P（ A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（ A∩B ）
2、基本的概率关系 （1）事件的补(Complement of event) 给定一个事件A，它的补定义为:Aｃ＝{样本空间中 所有不包括在A内的样本点}． Ｐ（Ａ）＋Ｐ（ Aｃ）＝１ 例5.5 假设某采购部声称供货商运来的货物中无残 次品的概率为90％，利用补，推出货物中有残次品 的概率为1－0.9=0.1 Aｃ A
P ( AB ) P（A | B ) = P( B) P ( AB ) P ( B | A) = P ( A)
乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(A)P(B|A)
例5.7 某报纸的发行部已知在某社区有84%的住户订阅了 该报纸的日报。用D＝“某住户订阅了日报”, P(D)=0.84, 已经订阅日报的住户订阅其周刊(事件S)的概率为0.75, 即 P(S|D)=0.75, 求某住户既订阅了日报,又订阅了周刊的概率 是多少? 解:P(SD)=P(D)P(S|D)=0.84×0.75=0.63
5.1.2 概率的性质与运算法则 1、概率的性质： （1）非负性。对任意事件A 0≤ P（A）≤1 （2）规范性。必然事件的概率为1，不可能事件的概 率为0。P（Ω）＝1，P（φ）＝0 （3）可加性。 若A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
可推广到多个两两互斥的随机事件A1，A2，…, Aｎ P(A1 ∪ A2 ∪... ∪Aｎ)=P(A1)+P(A2)+…+P(Aｎ)
(4)互斥事件（Mutually exclusive event） 如果两个事件没有公共的样本点,则称这两个事件互斥。
A
B
互斥事件的加法公式：件概率(Conditional probability) 某个事件的概率经常会因为另外一个相关事件的发生与否 而受到影响。 当某一事件B已知发生时，求事件A发生的概率，称为事件 B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P（A|B)。一般 来说， P（A|B)≠P（A） 条件概率公式：
（4）独立的事件不可能是互斥的
若两个事件A和B是相互独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B) ≠0, A∩B ≠Φ, 即A和B是不互斥的。
课堂练习
1、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是多少？ 2、设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生 的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发生 的概率？ 3、某品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为3/4，用 到10000小时未坏的概率为1/2。现有一台这种品牌的电 10000 1/2 视机已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的 概率是多少？ 4、下列电路图中A、B、C、D、E是同一型号电器件， 该型号的电器件在一个月内不发生故障的概率是0.80， 求一个月内该电路畅通并正常工作的概率是多少？
互斥性与独立性的关系:
互斥事件一定是相依的,但相依的事件则 不一定是互斥的; 不互斥事件可能是独立的,也可能是不独 立的,而独立的事件不可能是互斥的.
（1）互斥事件一定是相依的
如果A、B两个事件互斥，则A∩B＝Φ， P(A∩B)=0, 而P(A)•P(B) ≠0, 所以， P(A∩B) ≠ P(A)•P(B) ，即A、B是相依的。
第五章 概率与概率分布
简单的描述性统计只能对统计数据做比较肤浅的描 述、显示。要想从中探索出规律性的东西，需要推断 统计的方法。推断统计就是在搜集、整理观测样本数 据的基础上，对有关总体作出推断。根据随机性的观 测样本数据以及问题的条件和假定，对未知事物作出 的以概率形式表述的推断。即概率论与数理统计的内 容。