识要点
一. 判断分数化成的小数类型；
二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数；
三. 循环小数四则运算；
四. 分数与循环小混合计算；
五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目．
分数化为循环小数：
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。

一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求）
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求）
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

循环小数化分数：
1．纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。

2．混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

例题精讲
1. 将下列分数化为小数：
23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100
． 【分析与解】
20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166
= ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900⨯⨯+==== ．
2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ．
【分析与解】
123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110
-== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495
== ，136130.01369900220-== ．
3. 循环小数运算：
1）0.1230.2310.312++ ；
2）0.1230.1230.1230.123+++ ；
3）0.1230.123⨯ ；
4）98.087.076.065.054.043.032.021.0 +++++++．
【分析与解】
1） 原式2
0.6663== ；
2） 原式0.1231230.123230.12330.123=+++
0.492688779= ；
3） 原式413741
3333002700=⨯=；
4） 原式()()0.10.20.80.020.030.09=+++++++ ．
4. 将算式的结果分别用循环小数和分数表示（分数要化为最简）：
1）0.10.1250.0030.16+++ ；
2）1.860.351⨯ ；
3）1
1
1
1
1
1
235689+++++．
【分析与解】
1） 原式0.11110.125250.00330.1666=+++
0.40635= ；
2） 原式18535199=⨯13
9993724053663=； 3） 原式111111
236589⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭
10.20.1250.1=+++
0.4361= ．
5. 计算：0.10.1250.30.16+++ ，结果保留三位小数．
【分析与解】
方法一：0.10.1250.30.16+++
≈0.11110.12500.33330.1666+++
=0.7359
≈0.736．
方法二：0.1
0.1250.30.16+++ 1131598990=
+++ 111188
=+ 5372
= 0.7361
= ≈0.736．
6. 真分数7
a 化为小数后，如果从小数点后第1位数字开始连续若干数字之和是2008，那么a 是多少？ 【分析与解】
10.1428577= ，20.2857147= ，30.4285717= ，40.5714287= ，50.7142857= ，60.8571427
= ． 一个循环节的6位数字之和是14285727+++++=，2008277410÷= ，循环节的前几位数字
之和是10的只有0.285714
中2810+=，那么a 就是2．
7. 某学生将1.23
乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少？
【分析与解】
由题意得：1.23 1.230.3a a -= ，即：0.0030.3a = ，所以有：10
39003=a ．解得90a =，所以2321.23 1.239019011190a -⎛⎫=⨯=+⨯= ⎪⎝⎭
． 8. 将循环小数0.027
与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？
【分析与解】
27179672117967248560.0270.1796720.00485699999999937999999999999
⨯=⨯=⨯== ． 循环节有6位，1006164÷= ，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第101位是5，这样四舍五入后第100位为9．
9. 小B 写了一个错误的不等式：0.20080.20080.20080.2008>>>．请给式子中每个小数都添加循环
点，使不等号成立．
【分析与解】
把0.2008添加循环点，可以变成4个循环小数：0.2008
，0.2008 ，0.2008 ，0.2008 ． 0.20080.20082008= ，0.20080.2008008= ，0.20080.200808= ，0.2008
0.200888= ．
．
比较小数点后第5、6、7位，可知0.20080.20080.20080.2008
>>>
思考题
10.给小数0.4081923785添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数．并使得这个循环小数的小
数点后第100位数字是8．
【分析与解】
如果第100位数字是0.4081923785中的第一个8，则从它后一位“1”开始到第100位这97个数字，恰好构成若干个完整的循环节，但97是质数，矛盾．因此第100位数字是0.4081923785中的第二个8．从第二个“8”后面的“5”开始，到第100位有91个数字，91713
=⨯，而循环节长度不大于10，
．
只能是7．因此这个循环小数是0.4081923785。