排列数公式：
A
m n
n(n
1)(n
2)(n
m
1)
， m，n N
，并且 m ≤ n
．
全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排
列． n 的阶乘：正整数由1到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 n!表示．规定： 0! 1 ．
⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从 n 个
m≤n
．
组合数的两个性质：性质
1：
Cmn
Cnm n
；性质
2：
Cm n 1
Cmn
Cm1 n
．（规定
C0n
1）
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是
分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
【例12】解方程：11C3x 24C2x1
【例13】解不等式：
Cm1 8
3C8m
．
【例14】设
[
x]
表示不超过
x
的最大整数（如
[2]
2
，
5 4
1
），对于给定的
n
N
，定义
Cnx
n(n x(x
1) (n 1) ( x
x 1) x 1)
，
x 1，
，则当
x
3 2
，3
时，函数
C8x
的值域是（
）
A．
16 3
,
28
C．
4
,
28 3
28
,
56
B．
16 3
,
56
D．
4
,
16 3
28 3
,
28
【例15】组合数 Crn n r ≥1，n 、r Z 恒等于（
A．
r n
1 1
Cr 1 n 1
B．
n
1
r
1
Cr 1 n 1
） C． nrCrn11
D．
n r
Cr 1 n 1
【例16】已知 Cmn2
nA
m 1 n 1
，②
Amn
mA
m n
1
Am n 1
（其中
m
,
n 是正整
数）．是否都能推广到
A
m x
（
x
R
，
m
是正整数）的情形?若能推广，写出推广的
形式并给予证明；若不能，则说明理由．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同
元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示．
【例6】
计算
A37
，
A140
，
C37
，
C48 50
， C129
C139
．
【例7】 已知Α42n1 140Α3n ，求 n 的值． 【例8】 解不等式 A8x 6 A8x2
【例9】 证明： A99 9A88 8A77 A88 ．
【例10】解方程
A32 x
100A
2 x
．
【例11】解不等式 A8x 6A8x2 ．
素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法： n 个相同元素，分成 m(m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元
素排成一排，从
n
1
个空中选
m1个空，各插一个隔板有C m1 n 1．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一
转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途
径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答． 2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排； ②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
【例21】证明：
n i0
i
1
1
Cin
1n n 1 i0
Ci 1 n 1
．
【例22】求证：
A m 1 n
A m 1 n 1
(m
1)A
m2 n 1
．
n
【例23】证明： kCnk n 2n1 ． k 0
【例24】证明： Cn1
2Cn2
3Cn3
nCnn
n 2
(Cn0
Cn1
Cnn ) ．
:
Cm1 n2
:
Cm2 n2
3 : 5 : 5 ，求 m
、 n 的值．
排列数组合数公式的应用
【例17】
已知
Cn3 20
Cn2 20
C221
C2n2
Cn1 21
，求 C2n1 的值．
【例18】若
C2n6 20
Cn 20
2
,
(n
N)
，则
n
_______
【例19】若 Cmn 1∶Cmn∶Cmn 1 3∶4∶5 ，则 n m 【例20】证明： nCkn (k 1)Ckn1 kCkn
元素中任取 m 个元素的一个组合．
组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个
不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示．
组合数公式： Cmn
n(n
1)(n
2)(n m!
m
1)
n! m!(n
m)! ， m, n N
，并且
解方程
C
x x
5
C x 1 x3
Cx2 x3
3 4
Α2x
3
【例29】
确定函数
A
3 x
的单调区间．
【例30】规定
A
m x
x(x
1) ( x
m
1)
，其中
xR
，
m
为正整数，且
A0x
1，这是排列数
A
m n
（n,
m 是正整数，且 m ≤ n
）的一种推广．
⑴求
A3 15
的值；
⑵排列数的两个性质：①
A
m n
【例25】求证： Cnn
Cn n 1
Cn n2
Cn nm
C ； n1 n m 1
【例26】计算： C929 C399 ， C04 C15 C62 C193
【例27】证明： C0mCkn
C1m
Ck 1 n
C2m Ckn 2
Ckm C0n
Ck nm
．（其中 k
≤ min{m ，n} ）
【例28】
典例分析
排列数组合数的简单计算
【例1】 对于满足 n ≥13 的正整数 n ， n 5n 6...n 12 （ ）
A．
A
7 n 12
B．
A7 n5
C．
A8 n5
D．
A12 n5
【例2】 计算Α37 ______．
【例3】
计算
A130
，
A
6 6
；
【例4】 计算 C72 ______， C57 _______． 【例5】 计算 C130 ， C86 ；
排列数组合数的计算与证明
知识内容
1．基本计数原理
⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第 二类办法中有 m2 种方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称加法原理．
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做
到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元
⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法， 做第二个步骤有 m2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法．那么完成这件事 共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应 用．