泰勒公式的若干问题研究毕业论文题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0901学生吕晗学号20090921073指导教师徐美荣- 22 - 二〇一三年 五 月二十五日摘 要本文探讨了泰勒公式的若干问题。

首先给出了几种不同形式的泰勒公式并给出了相应的证明。

其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分别满足的条件01lim m m ξ→-=与1(1)lim []!(1)x a n x a n βξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。

最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。

关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性ABSTRACTIn this paper，we discuss some problems of Taylor formula。

Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。

Secondly, we discuss the application of Taylor formula。

We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。

In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity ofintermediate pointcondition 01limm mξ→-=and1(1)lim[]!(1)xa nx a nβξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。

Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。

Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior- 22 -目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1前言……….…………………………..……………………….……….……………… ..11.1引言 (1)1.2相关概念 (1)2泰勒公式 (5)2.1泰勒公式的几种形式 (5)2.2泰勒公式的证明 (6)3 泰勒公式的应用 (8)3.1泰勒公式在计算行列式中的应用 (8)3.2泰勒公式在判别敛散性方面的应用 (9)3.3泰勒公式在判断函数凸凹性中的应用……..……………………………..……114 泰勒公式的“中间点”的渐近性 (12)4.1当区间长度趋于零时“中间点”的渐近性 (12)4.2当区间长度趋于无穷时“中间点”的渐近性 (12)5 泰勒公式与泰勒级数 (19)5.1泰勒公式与泰勒级数的区别 (19)5.2泰勒公式与泰勒级数的应用 (20)结论............................................................................................. .. (22)参考文献 (23)致谢 (24)- 22 -1 前言1.1引言泰勒公式在数学上占有非常重要的地位，近年来，关于泰勒公式的证明以及应用的研究已经引起国内外很多学者的关注和思考，对于泰勒公式的证明，“中间点”的渐近性及利用泰勒定理判断级数敛散性、判断函数凹凸性，泰勒公式与泰勒级数之间的关系等方面的研究，都取得了一定的进展。

其中刘瑜[3]给出了泰勒公式在n阶行列式计算中的应用问题；邱忠文[5]讨论了利用泰勒公式证明函数的凸凹性问题；续铁权[8]讨论了泰勒公式“中间点”当x→∞的渐近性态问题；鲍春梅[12]讨论了当区间长度趋于零与无穷时“中间点”ξ的渐近性问题。

鲍培文[5]给出了泰勒公式与泰勒级数的异同和典型应用问题。

在一般的《数学分析》中，仅给出了泰勒公式的证明以及在计算极值问题方面的应用，但在实际的生产和生活中，我们经常会应用泰勒公式来解决一些实际问题，因此有必要对泰勒公式的若干问题进行深入研究。

在一些文献中只是具体地研究了泰勒公式的应用问题或中间点的渐近性问题。

本文将系统地研究泰勒公式的若干问题，从泰勒公式的证明到泰勒公式的中间点的渐近性，最后再讨论泰勒公式的应用以及泰勒公式与泰勒级数的区别与联系等。

对于泰勒公式的应用太少，我们要研究的泰勒公式问题，不仅要熟练应用泰勒公式计算极值，还要研究泰勒公式在更多方面的作用，如当“中间点”趋于零与无穷时ξ满足的条件,利用泰勒公式计算行列式，利用泰勒公式证明函数凹凸性，以及研究泰勒公式与泰勒级数之间的关系，更进一步了解泰勒公式的性质。

在本文的研究中主要用到以下基本概念和相关定理。

- 22 -- 22 - 1.2相关概念及定理定义1.1[1]对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数.由这些导数构造一个n 次多项式()20000000()()()()()()()()1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+-，则称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，()n T x 的各项系数()0()!k f x k (1,2,,)k n =称为泰勒系数。

定义 1.2[1]若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有()f x =0()(())n n T x o x x +-，即'''200000000()()()()()()()...()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-， 称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项。

定义1.3[1]若函数()f x 在点的某一邻域内具有直到+1n 阶导数，则在该邻域内 ()f x 的n 阶泰勒公式为'''20000000()()()()()()()...()2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n =+-+-++-+，其中00()()!n n f x x x n -，称为拉格朗日余项，以上函数展开式称为泰勒级数。

定理1.1[1]拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f 满足如下条件:(1)f 在闭区间[,]a b 上连续；(2)f 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ε,使得()()()f b f a f b aε-'=-。

定理1.2[1]洛必达法则设函数()f x 与()F x 满足下列条件:(1)lim ()0x a f x →=，lim ()0x a F x →=； (2)在点a 的某去心邻域内()f x '与()F x '都存在且()0F x '≠；- 22 - (3)lim(()/())x af x F x →''存在或为无穷大； 则lim(()/())lim(()/())x a x af x F x f x F x →→''=。

2泰勒公式泰勒公式集中体现了微积分逼近法的精髓，在微积分学及相关的领域的各个方面都有着重要的应用。

本部分在现行教材对泰勒公式证明的基础上，研究泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法。

2.1泰勒公式的几种形式在证明泰勒公式前，我们首先给出泰勒公式的几种不同形式。

定义2.1[1]带有Peano 型余项的泰勒公式:函数()f x 在，[,]a b 上具有n 阶导数,则[,]x a b ∀∈有()f x =0()f x +00()()f x x x '-+2200()()2!f x x x -++00()()!n n f x x x n -+()n R x ，- 22 - 其中 ()n R x =0(())n o x x -。

定义2.2[1] 带有Lagrange 型余项的泰勒公式:函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到1n +阶导数，则对(,)x a b ∀∈有()f x =0()f x +00()()f x x x '-+2200()()2!f x x x -++ 00()()!n n f x x x n -+()n R x ， 其中()n R x =(1)10()()(1)!n n f x x n ξ++-+。

在以上两个定义中，如果我们取特殊的0x =0，则得到相应的麦克劳林公式。

定义2.3[1] 麦克劳林公式(Maclaurin 公式)()f x =(0)(0)f f x '+++(0)()!n n n f x R x n +。

其中()n R x =(1)1()(1)!n n f x x n θ+++(01θ<<)。

以上，我们给出了泰勒公式的几种形式，下面我们从拉格朗日中值定理出发，给出不同于课本上的证明泰勒公式的方法。

2.2泰勒公式的证明下面我们首先讨论带有Lagrange 型余项的泰勒公式的证明问题，主要是根据拉格朗日中值定理来讨论泰勒公式的证明。

证明：由拉格朗日中值定理知,若()y f x =在0x 的某邻域D 内可导，则0()()f x f x -=10()()f x x ε'-,其中1ε介于0x 与x 之间，即010()()()()f x f x f x x ε'=+-。