初三上册23 章数据分析23.1 平均数和加权平均数1、一般地，我们把n个数x1, x2,..., x n的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作x ，读作“x拔”，即x 1 (x1 ... x n ).n2、已知n个数x1, x2 ,..., x n ，若w1, w2 ,..., w n为一组正数，则把x1w1 x2 w2 ... x n w nx1,x2,...,x n的加权平均数，w1 w2 ...w n1 12 2 n n叫做n 个数w1 , w2 ,..., w n分别叫做这n 个数的权重，简称权。

23.2 中位数和众数1、一般地，将n 个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n 为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。

2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。

一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。

23.3 方差设n 个数据x1, x2 ,..., x n 的平均数为x ，各个数据与平均数偏差的平方分别是(x1 x)2,(x2 x)2,...,(x n x)2。

偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用s2表示，即2 1 2 2 2s (x1 x) ( x2 x) ... (x n x)n当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。

因此，方差的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小。

23.4 用样本估计总体由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。

但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。

因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。

同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。

24 章一元二次方程24.1 一元二次方程1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程，叫做一元二次22方程。

一元二次方程的一般形式为ax2 bx c 0(a 0).其中，ax 是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

一元二次方程的解也叫做这个方程的根。

24.2 解一元二次方程1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。

配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

2、对于一元二次方程ax 2 bx c 0 ：当b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b 2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根；当 b 2 4ac 0 时，方程没有实数根。

我们把b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0 的根的判别式。

3、当b2 4ac 0 时，一元二次方程ax 2 bx c 0 的两实数根可以用 b b24ac x b b 4ac求出。

这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

利用求根公2a式解一元二次方程的方法叫做公式法4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。

24.3 一元二次方程根与系数关系2如果一元二次方程ax2 bx c 0的两根分别为x1,x2 ，那么bcx1 x2 ,x1?x2 。

aa24.4 一元二次方程的应用25章图形的相似25.1 比例线段1、如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为m和n ，我们就把m和n的比叫做线段a 和b 的比，记作a:b m:n ，或 a m。

bn2、在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a c，我们就把bd这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

3、比例的基本性质如果 a c，那么ad bc 。

bd 如果ad bc，那么 a c（b,d 0）bd 特别地，如果 a b，即b2ac，就把b叫做a,c的比例中项。

bc 如果 a c...m k，那么a c ... m kb d n b d ... n4、黄金分割在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足AC BCAB AC 那么称线段AB 被点C黄金分割，点C称为线段AB 的黄金分割点，AC称为黄金比。

黄金比AC 5 1 0.618AB AB 2每条线段上的黄金分割点都有两个。

（1） 基本事实 两条直线被一组平行线所截，截得的对应 线段成比例。

对应线段是指两条直线被一组平行线所截 得的线段（ AB 与 DE 、BC 与 EF 、AC 与DF ），对应线段成比例是指同一直线上的两 条线段的比， 等于另一条直线上与它们对应 的线段的比。

AB DE , AB DE , BC EF BC EF , AC DF , AC DF（ 2）推论 1 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长 线），所得的对应线段成比例。

AD AE , AD AE ,BD CE AB AC ,DB EC , AB AC3） 推论 225.3 相似三角形（ 1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形 ，相似三角形对 应边的比叫做它们的 相似比 。

如果两个三角形相似， 那么它们的对应角相等， 对 应边成比例。

（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线） 相交， 所截得的三角形 与原三角形相似。

平行于三角形的一边， 并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

在△ABC 中， DE △BC ，AD AE DEAB AC BC A（1）两角对应相等的两个三角形相似。

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三条边对应成比例的两个三角形相似。

（4）直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

25.5 相似三角形的性质相似三角形的性质定理（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。

（2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

25.6 相似三角形的应用25.7 相似多边形和图形的位似（1）形状相同的图形称为相似图形。

一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。

（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。

3）位似图形的画法确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上） ；选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成 射线； 根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点； △顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。

26章解直角三角形 26.1 锐角三角函数A 的对边 a sin A 斜边 c2、一些特殊角的三角函数值30°45°60°sin α1 2 322 2cos α3 2 1222tan α31331、如图，在 Rt △ABC 中， △C=90°△A 的对边与邻边的比叫做 △A 的正切，记作 tanA ， A 的对边 a tanAA 的邻边 b△A 的对边与斜边的比叫做 △A 的正弦，记作 sinA ， △A 的邻边与斜边的比叫做 △A 的余弦，记作cosA ， 即 cosA A 的邻边斜边即3、在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的比值也会发生相应的变化。

我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数。

为方便起见，今后将sin 2, cos 2, tan 2分别记作sin2 ,cos2 ,tan2。

26.2 锐角三角函数的计算26.3解直角三角形1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。

由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、在Rt△ABC中，△C=90° 三边之间的关系是a2 b2 c2；A B 90 ；a cbc a b边角之间的关系是sin A cosA tanAA的对边斜边A的邻边斜边A的对边A的邻边在边角之间的关系中，将△A换成△B，同时将a,b交换，即可得到△B与边之间的关系式。

根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素。

26.4解直角三角形的应用我们通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比h叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角。

显然，tan h27章反比例函数27.1 反比例函数一般地，如果变量y 和变量x 之间的函数关系可以表示成ky k（k为常数，且k 0）的形式，那么称y 为x 的反比例函数，k称为比例系数，x自变量x 的取值范围是不等于0 的实数。

27.2 反比例函数的图像和性质反比例函数y k（k为常数，且k 0）的图像由分别位于两个象限内的两条曲线x 组成，这样的曲线叫做双曲线。

对于反比例函数y k，当k>0 时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，xy 的值随x 的值增大而减小；当k<0 时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x 的值增大而增大。

27.3 反比例函数的应用28章圆28.1 圆的概念及性质（1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。

（2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。

过圆心的弦叫做这个圆的直径。

（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。

（5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

（6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。

能够完全重合的两条弧叫做等弧。

28.2 过三点的圆（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。

（2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。

28.3 圆心角和圆周角（1）顶点在圆心的的角叫做圆心角。

圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。

（3）在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。