安徽六校教育研究会2018级高一新生入学素质测试
高一数学试题参考答案
一、 选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
A
A
B
C
D
A
B
B
D
二、 填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分）
11．(2)(21)x x ++ 12． 1:2 13．
1
2
14．0 三、 （本大题共4小题，每题5分，满分20分）
15．解：原式=12
411222-++⨯
⨯ 41=+5=. (5)
分
16．解：（1）如图所示△A 1B 1C 1； ……………………1分
（2）如图所示△A 2B 2C 2； ……………………
2分
（3）如图，点(4,5)B -，点2(5,4)B ，作2B 关于x 轴对称的点3(5,4)B -，连接3BB 交x 轴于点P ，此点P 即为所求点，即此时2PB PB +最小. 设一次函数y kx b =+的图像经过点
B 和3B ，则有54,45k b k b =-+⎧⎨
-=+⎩解之得1
1
k b =-⎧⎨=⎩，所以经过点B 和3B 的直线对应一次函数解析式为1y x =-+，当0y =时，1x =，故点P 的坐标为(1,0). … …5分 17．解：如图，过B 作BF ⊥AD 于F ，
在Rt △ABF 中，∵sin ∠BAF =
BF
AB
，∴BF =ABsin ∠BAF =2sin 45°≈1.414， ∴真空管上端B 到AD 的距离约为1.414米． ……………………2分 在等腰Rt △ABF 中， AF =BF≈1.414．∵BF ⊥AD ，CD ⊥AD ，又BC ∥FD ，∴四边形BFDC 是矩形，∴BF =CD ，BC =FD ．在Rt △EAD 中，∵tan ∠EAD =
ED
AD
，∴ED =ADtan ∠EAD =1.614⨯tan 30°≈0.932，∴CE =CD -ED =1.414-0.932=0.482≈0.48，∴安装铁架上垂直
管
CE 的长约为0.48
米． ……………………5分 18．解：（1）在图1中，由题意，点2(3,4)A m +，点2(,6)C m ，又点A 2、C 2均在反比例函数y =k
x
的图象上，所以有4(3)6m m k +==，解之得6,36m k ==. 反比例函数解析式为
36
y x
=
. ……………………2分
（2）在图2中，2C E ∥GH ∥JK ，设2C E 和OJ 相交于点M ，则有
ME OM MF
IH OI GI
==. 因为I 为GH 中点，所以GI IH =，所以ME MF =，即点M 为EF 中点. 又点F 为2C E
中点，所以21
2
ME MF C F ==. 所以121111
2222
OMF S C F OE MF OE S ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=，
所以
()123233311822
OMF OGI OHI OJK k
S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆++=++=+=+===. ……………………5分
四、 （本大题共2小题，每题6分，满分12分） 19．解：分三种情况如下：
（1）若90PAB ∠=，则P 的横坐标为2x =-，代入到方程1
22
y x =
+中得纵坐标1y =，故此时P 点的坐标为(2,1)-； ……………………1分
（2）若90PBA ∠=，同理求得P 点的坐标为(4,4)； ……………………2分 （3）若90APB ∠=，作PM x ⊥轴于点M ，设P 点的坐标为(,)x y ，根据射影定理，
得2
1
(2)(4),22
y x x y x =+-=
+ ………………………4分 联立消元，解得454555
25252255x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=+=-+⎪⎪⎩⎩
或；
故P 点的坐标为45254525(
2),(2)++．……………………6分 20．解：（1）,C BAD ABC EBA ∠=∠∠=∠ ∴△ABC ∽△EBA ……………1分
△
ABC ∽
△
EBA
∴
AB CB
EB AB
=
2AB =BE
•
BC ……………………3分
（2）2AB BG =•BF ∴1,2BG AG == 由已知1AE EG ==，………………4分
在RT BEG ∆中，由勾股定理得2BE =
由（1）知 2
AB =BE •BC ，25
22
2AB BC BE ∴===……………6分
五、 （本大题共1小题，每题10分，满分10分）
21．解:(1)由题意得△=0)2(4)(42
2
=+-+ab c b a 即222c b a =+ 在Rt △ABC 中, A A B cos )2
sin(
sin =-=π
,则
5
8
cos sin ,552cos sin +-=+-=
+m m A A m m A A ………………………………………………2分 由1cos sin 22=+A A ,可得4,2021==m m
又由0cos ,0sin >>A A ,∴20=m ………………………………………………………4分 (2)由已知10,5=∴=c r 由(1)可得53sin =
A 或5
4
∴直角边分别为6,8……………………………………………………………………………6分 设正方形的边长为t 则
① 若正方形两边在三角形两直角边上时,有
7
24
,688=∴=-t t t …………………………………………………………………………8分 ② 若正方形的一条边在三角形的斜边上时,有
37120,5
24524
10=∴-=t t
t ……………………………………………………………………10分
六、 （本大题共1小题，每题12分，满分12分）
22．解：⑴ 由题意得： 2
0180m m ∆>⎧
⎨
+>⎩
，解得0m >或1
18
m <-
……………………………………（2分） （注：若只有0∆>解出0m >或1
20m <-得1分）.
（
2
）
120,0
x x <>，
12
,OA x OB x ∴=-=，
OA OB OC
=+，
120x x b ∴++=…………………（4分）
即21890m m +=解得0m =或12
m =-. 又
由
（
1
）
知
0m >或
118
m <-
，
12
m ∴=-
，故
211
482
y x x =--+. ………………………………（6分）
（3）解法一：由（2）知：(8,0),(4,0),(0,4)A B C -，
∵PBM ABC ∠=∠，要使PBM ∆∽ABC ∆，只需条件BPM BAC ∠=∠或
BPM BCA ∠=∠成立即可.
（ⅰ）若BPM BAC ∠=∠，此时PQ ∥AC ，又,83OQ k PO k ==-， ∴
1
2
OQ OC PO OA ==，即
1
832
k k =-，解之得
8
5
k =.………………………………………………………（8分）
（ⅱ）若BPM BCA ∠=∠，此时点P 在线段OB 上，如图，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，
∴QPO BCN ∠=∠，∴tan tan QPO BCN ∠=∠，即OQ BN
OP CN
=， 又5BN =
，4555CN =-=，∴513843
5k k =⋅=-，
解之得3k =. …………………………………………（11分） 综上可知：当8
5
k =
或3k =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与ABC ∆相似. …………………………………………（12分）
解法二：由（2）知：(8,0),(4,0),(0,4)A B C -，(38,0),(0,)P k Q k -， ∵PBM ABC ∠=∠，要使PBM ∆∽ABC ∆，只需条件BM BP BC BA =或BM BP
BA BC
=成立即可.
又∵直线BC 的解析式为4y x =-+………………① 直线PQ 的解析式为83k
y x k k
=⋅+-………………② 联
立
①
②
解出
点
M 的坐标为
833
(
,)22
k k -.∴
3
22
BM k =
. …………………………………………（8分） （ⅰ）若BM BP
BC BA =，即3212321242
k k -=，解得：85k =.
（ⅱ）若BM BP
BA BC
=，即
3
2
2
1242
k
=，解得：
3
k=. …………………………………………（11分）
综上可知：当
8
5
k=或3
k=时，以P、B、M为顶点的三角形与ABC
∆相
似. ………………（12分）。