2019年秋季期高三12月月考文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合{}{}2|20,|3,0xA x x xB y y x =--<==≤，则=B A A ．)2,1(- B ．)1,2(-C ．]1,1(-D ．(0,1] 2．若iy i i x 1)2(-=+(),x y ∈R ,则y x += A ．1-B ．1 C ．3 D ．3-3．在等差数列{}n a 中，37101a a a +-=-，11421a a -=，则=7a A ．7B ．10C ．20D ．304. 已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据则变量x 与y 之间的线性回归方程可能为（ ）A ．0.7 2.3y x =-B ．0.710.3y x =-+C ．10.30.7y x =-+D ．10.30.7y x =-5. 已知数列{}n a 满足：11,0n a a =>，()22*11n n a a n N +-=∈，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．256. 已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（ ）A ．75,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭7. 若01m <<，则（ ）A ．()()11m m log m log m +>-B ．(10)m log m +> C. ()211m m ->+D ．()()113211m m ->-8. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）A ．92 B ．4 C. 3 D 9. 若函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,5B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞10.已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．B ．48π C. 24π D ．16π11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知145a =，112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则2018S 等于（ ）A ．50445 B ．50475 C. 50485 D ．5049512.已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y =-，,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则“点P 在l上”是“PA PB ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；（13）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅= ． （14）已知1tan 2θ=，则tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （15）如图，多面体OABCD ，,,OA OB OC 两两垂直，==2AB CD ，=B AD C ，=AC BD ，则经过,,,A B C D 的外接球的表面积是 ． （16）设数列}{n a 的前n 项和为n S 若31=a 且1211+=+n n a S 则 }{n a 的通项公式=n a ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，2a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.（18）（本小题满分12分）某县政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（Ⅰ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数（精确到0.01）；（Ⅱ） 求用户用水费用y (元)关于月用水量t（吨）的函数关系式；（Ⅲ）如图2是该县居民李某2017年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，BA ∥CD ，2CD BA =，CD AD ⊥,平面PAD ⊥平面ABCD ，APD ∆为等腰直角三角形，PA PD ==（Ⅰ）证明：PB PD ⊥； （Ⅱ）若三棱锥B PCD -的体积为43，求BPD ∆的面积（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线14x =于点M ，求证：以MP 为直径的圆过点2A .（21）（本小题满分12分）已知函数22()ln ,()f x x a x a R x=+-∈． （Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，求证：0 1.x >请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2]θπ∈．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线:32x l y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩t为参数）的距离最短，写出D 点的直角坐标.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|||f x x x =+-． （Ⅰ）当1m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[0,1]m ∈，不等式()f x n ≥的解集为空集，求实数n 的取值范围．文科数学试题答案1-5: DACBC 6-10: DDABA 11、12：BC二、填空题13． 814．17-15．13π16．⎩⎨⎧≥⋅=-2,341,32n n n 17．解（1）由已知得21()cos cos 2f x x x x =--1cos 21222x x +=- sin(2)6x π=--…………3分 222262kx x kx πππ∴-≤-≤+63kx x kx ππ∴-≤≤+又[0,]x π∈∴函数()f x 在[0,]π的单调递减区间为[0,]3π和5[,]6ππ. …………6分（2）由（1）知()sin(2)6f x x π=--锐角ABC ∆，∴ 02A π<< 52666A πππ∴-<-< 又()sin(2)16f A A π=--=-262A ππ∴-=，即3A π=…………9分又sin sin b C a A =24bc a ∴==1sin 2ABC S bc A ∆∴==. …………12分18．解：（1）平均数7.96，中位数8.15. …………4分 （2）设居民月用水量为t吨，相应的水费为y 元，则4, 012,48(12) 6.6, 12<14,61.2(14)7.8 1416,t t y t t t t <≤⎧⎪=+-⨯≤⎨⎪+-⨯<≤⎩ 即4, 012,2 6.631.2, 12<14,7.848, 1416,t t y t t t t <≤⎧⎪=-≤⎨⎪-<≤⎩…………8分（3）设李某2017年1～6月份月用水费y （元）与月份x 的对应点为(,)(1,2,3,4,5,6)i i x y i =，它们的平均值分别为x ，y ，则126216x x x x +++==，又点(,)x y 在直线233y x =+上，所以40y =，因此126240y y y +++=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元．由（2）知，当13t =时，() 6.61331.254.6f t =⨯-=，所以李某7月份的用水吨数约为13吨. …………12分 19．证明：（1）因为平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDA ⋂平面ABCD =AD ，CD AD ⊥ 所以CD ⊥平面PDA . 又CD ∥AB ，AB ∴⊥平面PDA .PD ⊂平面PDA ，PD AB ∴⊥又APD ∆为等腰直角三角形，PD PA ∴⊥，有PA AB A ∴⋂= PD ∴⊥平面PAB ，又PB ∴⊂平面PABPB PD ∴⊥ …………6分（2）设AB x =，则2CD x =，过P 作PE AD ⊥于E ，则E=1P . 又平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDA ⋂平面ABCD =ADE P ∴⊥平面ABCD .又PA PD ==2AD ∴=.∴1112433233B PCD P BDC BDC V V S PE DC AD PE x --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅==2x ∴=∴RT PAB ∆中，PB ==.∴RT PBD ∆中，12BPD S DP PB ∆=⋅⋅= …………12分20．解：（1）设1(,0)F c -、2(,0)F c ， 由已知可得226a c +=①又(0,)B b 可求2:0BF l bx cy bc +-=，b ，即2bc ab =②又222a b c =+③，由①②③可求得2,a b ==所以22143x y += …………6分证明：（2）由题意知：12(2,0),(2,0)A A -.设00(,)P x y ，则10A 0:(2)2P y l y x x =++，所以0016(14,),2y M x + 又点P 在椭圆C 上，所以22003(1)4x y =-若以MP 为直径的圆过点2A ，则22A M A P ⊥ 所以02200016(12,)(2,)2y A M A P x y x ⋅=⋅-+ 20001612(2)2y x x =-++ 200012(4)12(2)2x x x -=-++ 000012(2)(2)12(2)2x x x x -+=--+0=以MP 为直径的圆过点2A…………12分21．解：（1）7100x y +-= …………4分（2）()22ln f x x a x x =+- ()3222x ax f x x --'∴=()0x >令()322g x x ax =--，则()26g x x a '=-由()0,0a g x '>=，可得x =()g x ∴在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增 由于()020g =-<，故x ⎛∈ ⎝时，()0g x < 又()10g a =-<，故()g x 在()1,+∞上有唯一零点，设为1x ， 从而可知()f x 在1(0,)x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增由于()f x 有唯一零点0x ，故10,x x =且01x > …………12分 22．解：（1）由[)=2sin ,0,2ρθθπ∈，可得22sin ρρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-= …………5分（2）直线l 的参数方程为)32x t y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数，消去t 得l的普通方程为5y =+， C 与l 相离，设点()00,D x y ，且点D到直线:5l y =+的距离最短，则曲线C 在点D处的切线与直线:5l y =+平行，(001.1y x -∴=-，又()220011x y +-=0x ∴=0x = 032y ∴= ∴点D的坐标为32⎫⎪⎪⎭ …………10分 23．解：（1）当()11,2m f x =≥等价于112x x +-≥ ∴()i 当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解 ()ii 当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤< ()iii 当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥恒成立，0x ∴≥ 综上所述，不等式()12f x ≥解集为14x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭ …………5分 （2）因为()f x x x =++（当且仅当x ≥时，等号成立）()max f x ∴=设()g m =01m ≤≤，∴设2cos m θ=，(0)2πθ≤≤ ()cos sin 4g m πθθθ⎛⎫∴==+=+≤ ⎪⎝⎭（当4πθ=等号成立） ()max g m ∴=()max 1,2m g m ⎛ ≤==∴= ⎝⎭或当且仅当时等号成立 ∴要使()f x n ≥的解集为∅,则n >∴n 的取值范围为)+∞ …………10分。