课时跟踪训练（十六）答案：向量加法运算及其几何意义一、基础知识训练：1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝a B．u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rAC＝0C．u u u rAB＋u u u rBA＝0 D．u u u rCA＋u u u rAC＝uuu rOA＋u u u rCO＋u u u rAC解析：选B由向量加法可知u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rAC＝u u u rAC＋u u u rAC＝2u u u rAC.2．(u u u rAB＋u u u u rMB)＋(u u u rBO＋u u u rBC)＋u u u u rOM等于()A．u u u rBC B．u u u rAB C．u u u rAC D．u u u u rAM 解析：选C原式＝u u u rAB＋u u u u rMB＋u u u rBO＋u u u rBC＋u u u u rOM＝(u u u rAB＋u u u rBC)＋(u u u u rMB＋u u u rBO＋u u u u rOM)＝u u u rAC＋0＝u u u rAC.3．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C．u u u rAC＋uuu rCB＝u u u rAB D．|a＋b|＝|a|＋|b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.4．在矩形ABCD中，|u u u rAB|＝4，|u u u rBC|＝2，则向量u u u rAB＋u u u rAD＋u u u rAC的长度等于()A．25B．45C．12 D．6解析：选B因为u u u rAB＋u u u rAD＝u u u rAC，所以u u u rAB＋u u u rAD＋u u u rAC的长度为u u u rAC的模的2倍5．已知平行四边形ABCD，设u u u rAB＋uuu rCD＋u u u rBC＋u u u rDA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，u u u rAB＋uuu rCD＝0，u u u rBC＋u u u rDA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，6．uuu rPQ＋u u u u rOM＋uuu rQO＋u u u u rMQ＝________.解析：原式＝uuu rPQ＋uuu rQO＋u u u u rOM＋u u u u rMQ＝uuu rPQ＋u u u u rQM＋u u u u rMQ＝uuu rPQ.7．已知正方形ABCD的边长为1，u u u rAB＝a，u u u rAC＝c，u u u rBC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rAC|＝|u u u rAC＋u u u rAC|＝2|u u u rAC|＝2 2.8.如图，在平行四边形ABCD中，(1)u u u r AB ＋u u u r AD ＝________；(2)u u u r AC ＋uuu r CD ＋u u u r DO ＝________；(3)u u u r AB ＋u u u r AD ＋uuu r CD ＝________；(4)u u u r AC ＋u u u r BA ＋u u u r DA ＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为u u u r AC .(2)u u u r AC ＋uuu r CD ＋u u u r DO ＝u u u r AD ＋u u u r DO ＝u u u r AO .(3)u u u r AB ＋u u u r AD ＋uuu r CD ＝u u u r AC ＋uuu r CD ＝u u u r AD .(4)u u u r AC ＋u u u r BA ＋u u u r DA ＝u u u r BA ＋u u u r AC ＋u u u r DA ＝u u u r BC ＋u u u r DA ＝0.9.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：①u u u r DG ＋u u u r EA ＋uuu r CB ；②u u u r EG ＋u u u r CG ＋u u u r DA ＋u u u r EB .解：①u u u r DG ＋u u u r EA ＋uuu r CB ＝u u u r GC ＋u u u r BE ＋uuu r CB ＝u u u r GC ＋uuu r CB ＋u u u r BE ＝uuu r GB ＋u u u r BE ＝u u u r GE . ②u u u r EG ＋u u u r CG ＋u u u r DA ＋u u u r EB ＝u u u r EG ＋u u u r GD ＋u u u r DA ＋u u u r AE ＝u u u r ED ＋u u u r DA ＋u u u r AE ＝u u u r EA ＋u u u r AE ＝0.10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝1u u u u u u u r ＋i i A A (i ＝1,2，…，7)，b j ＝u u u u r j OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为3u u u u r OA ＋7u u u u r OA ＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝23u u u u u r A A ＋56u u u u u r A A ＋2u u u u r OA ＋5u u u u r OA ＋7u u u u r OA＝(2u u u u r OA ＋23u u u u u r A A )＋(5u u u u r OA ＋56u u u u u r A A )＋7u u u u r OA ＝6u u u u r OA ＝b 6.二、能力提高训练：1.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A ．u u u r FD ＋u u u r DA ＝u u u r FAB ．u u u r FD ＋u u u r DE ＋u u u r EF ＝0C ．u u u r DE ,＋u u u r DA ＝u u u r ECD ．u u u r DA ＋u u u r DE ＝u u u r FD解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，u u u r DA ＋u u u r DE ＝u u u r DF ≠u u u r FD .2．下列命题错误的是( )A ．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有u u u rAB＝u u u rDC，起点和终点都不相同．3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足u u u rPA＋u u u rPB＝u u u rPC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D u u u rPA＋u u u rPB＝u u u rPC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．4．下列命题正确的是()A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同B．若u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rCA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0解析：选C当a＋b＝0时，A选项不正确；若u u u rAB＋u u u rBC＋u u u rCA＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a 不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)5．如果|u u u rAB|＝8，|u u u rAC|＝5，那么|u u u rBC|的取值范围为________．解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．答案：[3,13] 6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设u u u rAB＝a，u u u rBC＝b，则u u u rAC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|u u u rAC|＝82，∠BAC＝45°.答案：8 2 km北偏东45°7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：u u u r AB＋u u u rAC＝u u u rAP＋uuu rAQ.证明：u u u rAB＝u u u rAP＋u u u rPB，u u u rAC＝uuu rAQ＋uuu rQC，∴u u u rAB＋u u u rAC＝u u u rAP＋u u u rPB＋uuu rAQ＋uuu rQC.∵u u u rPB与uuu rQC大小相等，方向相反，∴u u u rPB＋uuu rQC＝0，故u u u rAB＋u u u rAC＝u u u rAP＋uuu rAQ＋0＝u u u rAP＋AQ.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作uuu rOA＝a，u u u rAB＝b，u u u rBC＝c，uuu rCD＝d，则u u u rOD＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作uuu rOA＝a，u u u rAB＝e，则a＋e＝uuu rOA＋u u u rAB＝uuu rOB，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|uuu rOB|即|a＋e|最大，最大值是3.。