因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念(1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。

如a b +,22a ab b −+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。

一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++−−−，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的对称式。

(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。

如把a b −，22a b −中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b −=−−，2222()b a a b −=−−则a b −，22a b −就叫做关于,a b 的交代式。

(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的轮换式。

2、齐次对称式的一般形式(1)二元齐次对称式二元一次齐次对称式：)(b a L +；二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22；二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。

(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式：)(c b a L ++；三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++；三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。

其中L，M，N 都是待定的常数，不含有,,a b c 。

3、基本性质(1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式。

例如a c c b b a 222++是轮换式，但把,a b 互换，得到b c c a a b 222++，显然它不是关于,a b 的对称式。

(2)两对称式的和、差、积、商一定是对称式；两轮换式的和、差、积、商一定是轮换式。

(3)两交代式的积是对称式；一对称式和一交代式的积是交代式。

如22))((b a b a b a −=−+(对称式×交代式=交代式)；)()())((222b a b a b a b a +−=−−。

(交代式×交代式=对称式)。

(4)有若干个字母的交代式，一定能被其中任意两个字母的差整除，如交代式22b a −能被()a b −整除。

对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如x )作主元，将其余的元看成确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。

例如，对一个关于z y x ,,的轮换式，如已定出y x −是它的一个因式，则x z z y −−,都是它的因式。

4、对称式、交代式和轮换式的因式分解例1、分解因式)()()(222b a c a c b c b a −+−+−。

解：由于原式是关于,,a b c 的三次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被a b −，b c −，c a −整除，即能被))()((a c c b b a −−−整除。

但))()((a c c b b a −−−是三次齐次交代式(性质(3))，∴)()()(222b a c a c b c b a −+−+−)())((a c c b b a L −⋅−−=。

令1,2,1−===c b a ，则3+(－3)+(－1)=L(－1)·3·(－2)。

∴L=1。

因此)()()(222b a c a c b c b a −+−+−)())((a c c b b a −⋅−−−=。

例2、分解因式)()()(233y x z x z y z y x −+−+−。

解：由于原式是关于,,x y z 的四次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被x z z y y x −−−,,整除，即能被))()((x z z y y x −−−整除。

但))()((x z z y y x −−−是三次齐次交代式(性质(3))，∴原式=))()()((x z z y y x z y x L −−−++。

其中)(z y x L ++是一次齐次对称式(性质(3))。

令0,1,2===z y x ，则L ××−×=+−+1)2(10)2(8∴L=－1因此))()(()()()()(233x z z y y x z y x y x z x z y z y x −−−⋅++−=−+−+−。

例3、分解因式555)()()(a c c b b a −+−+−。

解：原式是关于,,a b c 的五次齐次交代式，仿上两例知它能被))()((a c c b b a −−−整除，因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式)()(222ca bc ab M c b a L +++++。

∴555)()()(a c c b b a −+−+−＝[)()(222ca bc ab M c b a L +++++]))()((a c c b b a −−−令1,1,0−===c b a ，则2L－M=15，令2,1,0===c b a ，则5L+2M=15。

解⎩⎨⎧=+=−1525152M L M L 得L=5，M=－5。

∴555)()()(a c c b b a −+−+−))()()((5222a c c b b a ca bc ab c b a −−−−−−++=。

例4、分解因式abc c b a 3333−++。

解：由于原式是关于,,a b c 的三次齐次对称式，如果它能分解，则必有一个一次齐次对称式a b c ++做为因式，而另一个因式应是二次齐次对称式)()(222ca bc ab M c b a L +++++∴原式=)(c b a ++[)()(222ca bc ab M c b a L +++++]。

令1,0===c b a ，则L=1；令1,0===c b a ，则2L+M=1，M=－1。

∴abc c b a 3333−++=)(c b a ++)(222ca bc ab c b a −−−++。

例5、分解因式5555)(z y x z y x −−−++。

解：原式是关于,,x y z 的五次齐次对称式，所以它如果能分解，必有一个一次对称式因式。

我们判断x y +是否是它的因式：假设5555)(z y x z y x −−−++=()x y +Q(Q 是整式)，令x y =−，由05555=−−+z y y z 知原式有因式x y+同理知y z +，z x +都是原式的因式。

但))()((x z z y y x +++是三次齐次对称式，所以原式应有一个二次齐次对称式的因式：)()(222zx yz xy M z y x L +++++(性质(3))。

∴5555222()()()()[()()]x y z x y z x y y z z x L x y z M xy yz zx ++−−−=++++++++令1,0===z y x ，则2L+M=15；令1===z y x ，则L+M=10。

解⎩⎨⎧=+=+10152M L M L 得L=M=5。

∴5555222()5()()()()x y z x y z x y y z z x x y z xy yz zx ++−−−=++++++++。

例6、分解因式：abcc b a ca bc ab −++++))((解：原式是一个关于c b a ,,的对称式，取a 为主元，原式可看成是一个关于a 的二次多项式)(a f 当b a −=时，原式0)(22=+−=−=c b c b b f 。

由因式定理，原式含有因式()a b +由对称性，原式还含有因式))((a c c b ++。

由于))()((a c c b b a +++已是关于c b a ,,的三次式，而原式也只是关于c b a ,,的三次式，故原式不会再由其他因式了。

但原式与))()((a c c b b a +++还可能相差一个常数因数，故设=−++++abc c b a ca bc ab ))(())()((a c c b b a k +++①这是一个关于c b a ,,的恒等式，可通过在等式的两边使c b a ,,取一些特殊值来求出k 。

例如，取1===c b a ，代入①式，得k 88=，从而1=k 。

所以原式=))()((a c c b b a +++说明：上述解法中的待定系数,k 也可通过观察确定，由观察易知，①式左边2a 的系数是c b +，而右边关于2a 的系数是()k b c +，故1=k 。

如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同，则称为齐次多项式；否则，称为非齐次多项式。

由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是222()()a x y z b xy yz zx +++++；三元一次非齐次对称式的一般形式是d z y x c +++)(这里d c b a ,,,都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和。

把对称式或轮换对称式作因式分解时，应注意原式是齐次的还是非齐次的，并由此确定因式的形式。

例7、分解因式：555)()()(x z z y y x −+−+−解：原式是五次齐次轮换式，仿照例8的办法知，y x −，x z z y −−,都是它的一次因式。

由原式的齐次性，它还有一个二次齐次因式。

由轮换性，这个因式的形式必是222()()a x y z b xy yz zx +++++；(若为222z y x +−，由轮换式就会有另两个因式222x z y +−及222y x z +−，这样原式就至少为9次)，这里b a ,为待定系数。

于是，便有原式=)]()()[)()((222zx yz xy b z y x a x z z y y x +++++−−−取1,1,0x y z ==−=，代入上式得215a b −=；取0,1,2===z y x ，得5215a b +=关于b a ,的两式联立，解得5,5−==b a 。

所以原式=))()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x −−−++−−−例8、分解因式：))()(()()()(333a c c b b a b a c a c b c b a −−−+−+−+−解：原式是四次非齐次轮换式，易知a c c b b a −−−,,是它的(一次齐次)因式。