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部分学校高三阶段性诊断考试试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1
{|1}A x x
=<,{||1|2},B x x =-<则A B =I
().1,3A -().1,1B -()()()().1,00,1.1,01,3C D --U U
2．设复数z 满足z ()12,i i ⋅-=+则z 的虚部是 A ．32 B ．32i C ．-32 D. -32i
3．在正项等比数列{}n a 中，若374,a a =则()52a
-= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2
4．当5,
36
ππ
α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，方22
cos sin 1x y αα+=程表示的轨迹不可能是 A ．两条直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线
5．已知112
3
411log 2,,23a b c ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.Aa c b <<
.B a b c << .C c a b << .D c b a <<
6．在平行四边形ABCD 中,3,DE EC =u u u r u u u r 若AE 交BD 于点M ，则→
AM =
A ．1233AM A
B AD =+u u u u r u u u r u u u r
B ．3477
AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r
21.33C AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r
25.77
D AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r
7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：
甲说：丙或丁竞选成功;乙说：甲和丁均未竞选上： 丙说：丁竞选成功;丁说：丙竞选成功
若这四人中有且只有2人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
8．已知函数()f x 是定义在(-π2，π2)上的奇函数．当0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()()tan 0,f x f x x '+>则不
等式()cos sin 02x f x x f x π⎛
⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为
A.(.π4,π2)B ．(-.π4,π2)C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式2120x x []+[-…]的解可以为 A
．B ．3 C ．-4.5 D ．-5
10．已知动点P 在双曲线C ：2
2
13
y x -=上，双曲线C 的左右焦点分别为21,s F F 下列结论正确的是
A ．C 的离心率为2
B ．C
的渐近线方程为y x = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122||
||
PF PF 的最大值为14
11．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：
()()11212122122b b c c a a b b ⎛⎫
=⨯ ⎪⎝⎭,其中11112212112222,c a b a b c a b a b =+=+.
已知定义在R 上不恒为0的函数(),f x 对任意,a b R ∈有：
()()
()12) 11(11b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭
且满足()12,f ab y y =+则
()()().00.11.A f B f C f x =-=是偶函数 ().D f x 是奇函数
12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为()01x x <<的液体，旋转容器，下列说法正确的是 A ．当1
2
x =
时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 ().0,1,B x ∀∈液面都可以成正三角形形状
C ．当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为3
4 3 D ．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为2
5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知()cos 2cos 2πααπ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，则cos2α= ▲
14．设随机变量()~4,9,N ζ若实数a 满足()()3221,P a P a ξζ<+=>-则a 的值是 ▲
15．已知抛物线C ：21
8
y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于
点N ．当23
MN MF =u u u u r u u u r
时，△NOF 的面积是 ▲
16．用 M I 表示函数 y = s i n x 在闭区间I 上的最大值．若正实数
a [][]0,,22a a a M …
则[]0,a M = ▲
a 的取值范围是 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．(10分)
下面给出有关ABC V 的四个论断：
ABC S =
V ①222122
a b ac a c c +=+=②；
③或b =④ 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
若 ▲ ,则 ▲ (用序号表示)并给出证明过程： 18．(12分)
已知数列{}n a 为“二阶等差数列”，即当()
*1n n n a a b n +-=∈N 时，数列{b n }为等差数列
15325,67,101.a a a ===
(1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的最大值
19．(12分)
新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫(即0、1、6月龄)，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验： 1 0 μg /次剂量组与 2 0 μg / 次剂量组，试验结果如下：
(1)根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断能否有99．9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关? (2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人. 参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中.n a b c d =+++
参考附表：
20．(12分)
在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，11
2
CD CB AB ===，M,N 分别是棱AB,B 1C 1的中点 (1)证明：直线MN ∥平面11ACC A ;
(2)若1D C ⊥平面ABCD ，且13DC =,求经过点A ，M ，N 的平面1A MN 与平面11ACC A 所成二面角的正弦值.
21．(12分)
已知椭圆E ：()22
2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是32，P 为椭圆上的动
点．当12F PF ∠取最大值时12,PF F ∆的面积是 3 (1)求椭圆的方程：
(2)若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0,OA OB ⋅=u u u r u u u r
是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切?若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由 22．(12分)
已知函数()2.ln f x x x x ax =+-
(1)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；
(2)当) 2,(*n n ≥∈N 时，求证：222111111;23e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L
(3)若函数()f x 有两个极值点x 1，x 2，求证：212( 1e x x e >为自然对数的底数)。