2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线221
x x
y x +=-渐近线的条数为()
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3
(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f = (A )1(1)(1)!n n --- (B )(1)(1)!n n -- (C )1(1)!n n -- (D )(1)!n n - (3)如果(,)f x y 在()0,0处连续,那么下列命题正确的是( ) (A )若极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B )若极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在 (D )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在 (4)设2k
x k e
I e
=⎰
sin x d x (k=1,2,3),则有D
(A )I 1< I 2 <I 3.
(B) I 2< I 2< I 3.
(C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.
(5)设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其中1234,,,c c c c 为任意常数,
则下列向量组线性相关的是( )
(A )123,,ααα (B )124,,ααα (C )134,,ααα (D )234,,ααα
(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1112P AP -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
,()123,,P ααα=,()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=( ) (A )121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )112⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
(C )212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )221⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
(7)设随机变量x 与y 相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则{}=<y x p ()
112
4
()
()
() ()
5
35
5A B C D
(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()1)(2
1
)(2
1
)
(1)(--
D C B A 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题..纸.
指定位置上. (9)若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+,则
)(x f =________。
(10
)2
0⎰ ________。
(11)(2,1,1)
grad z xy y
⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭ ________。
(12)设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则⎰⎰∑
=ds y 2________。
(13)设X 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵T xx E -的秩为________。
(14)设,,A B C 是随机事件,,A C 互不相容,1()2P AB =,1()3
P C =,则
()P ABC -
=________。
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
证明:2
1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-
(16)(本题满分10分)
求()22,2
x y f x y xe +=-的极值。
(17)(本题满分10分) 求幂级数0n ∞
=∑
244321
n n n +++x 2n
的收敛域及和函数
(18)(本题满分10分)
已知曲线
,其中函数)(t f 具有连续导数,且0)0(=f ,⎪⎭
⎫
⎝
⎛<<>200)(πt t f 。
若曲线
L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数)(t f 的表达式,并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
(19)(本题满分10分)
已知L 是第一象限中从点()0,0沿圆周222x y x +=到点()2,0,再沿圆周
224x y +=到点()0,2的曲线段,计算曲线积分()22=32L
J x ydx x x y dy ++-⎰。
(20)(本题满分10分)
设
100
010
001
001
a
a
A
a
a
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
,
1
1
b
⎛⎫
⎪
- ⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
(Ⅰ)求A
(Ⅱ)已知线性方程组Ax b
=有无穷多解,求a,并求Ax b
=的通解。
(21)(本题满分10分)三阶矩阵
101
011
10
A
a
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-
⎝⎭
,T A为矩阵A的转置,
已知()2
T
r A A=,且二次型T T
f x A Ax
=。
1)求a2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
(22)(本题满分10分)
已知随机变量,X Y以及XY的分布律如下表所示,
求:(1)()
ρ.
-与XY
X Y Y
2
P X Y
=; (2)()
cov,
(23)(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布()2,N μσ与()2,2N μσ,其中σ是未知参数且0σ>,设Z X Y =-,
(1)
求z 的概率密度()2,f z σ; (2) 设12,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本,求2σ的最大似然估计量2σ;
(3) 证明2
σ为2σ的无偏估计量。
2012考研数学答案——数学一真题及答案。