A22 A12
a p22 b
d
c p22
k11 p22m11 k12
Mechanical and Structural Vibration
1 两自由度系统的自由振动
主振型
根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通 解，是它的两个主振动的线性组合，即
x1 (t) x1(1) x1(2) A1(1) sin( p1t 1 ) A1(2) sin( p2t 2 )
k11
p2 k21
m11
k22
k12 p2m22
A1 A2
0 0
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
k11
p2 k21
m11
k22
k12 p2m22
ห้องสมุดไป่ตู้
A1 A2
0 0
系数行列式等于零
K p2M 0
k11 p2m11 k21
k12
0
k22 p2m22
这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
k11 p2m11
k12
0
k21
k22 p2m22
展式为 p2 m11m22 p4 m11k22 m22k11 p2 k11k22 k12k21 0
引入记号
a k11 , b k12 , c k21 , d k22
m11
m11
m22
分别以两物体的平衡位 置 为 坐 标 原 点 ， 取 x1 、 x2 为广义坐标，
由牛顿第二定律得
k3 x2
m1x1 k1x1 k2 (x2 x1) m2 x2 k2 (x2 x1) k3x2
自由振动微分方程
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0 m2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2 0
m车
建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼
k2
c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合
缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
模型
简化成二个自由度
1 两自由度系统的自由振动
运动微分方程
两自由度的弹簧质量系统。 k1
k2
k3
两物体均作直线平移，略去
摩擦力及其它阻尼。
x2
(t)
x
(1) 2
x
(2) 2
A2(1) sin( p1t
1)
A2(2) sin( p2t
2)
写成矩阵形式
x1
A1(1)
x2 A2(1)
A1(2)
sin(
p1t
1
)
A2(2) sin( p2t 2 )
x1
A1(1)
sin(
p1t
1
)
A1(2)
sin(
p2t
1 两自由度系统的自由振动
运动微分方程
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
0 0
刚度矩阵
K
k 11
k
21
k12
k
22
质量矩阵
M
m11 m21
m12
m22
坐标列阵
x
x1 x2
加速度列阵
x
x1 x2
Mx Kx 0
m22
特征方程可写为
p 4 (a d ) p 2 ad bc 0
1 两自由度系统的自由振动
p 4 (a d ) p 2 ad bc 0 特征方程的两组特征根
频率方程
p12,2
a
2
d
a
d 2
2
(ad
bc)
a
d 2
a d 2 bc 2
小于 a d
2
正值
特征根 p12 p22是两个大于零的不相等的正实根
模型
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动 m
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之
间的相互影响
模型
m人
k1
c1
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
a k11 , b k12 , c k 21 , d k 22
m11
m11
m22
m22
p12,2
ad 2
a d 2
2
(ad
bc)
a
d 2
a d 2 bc 2
p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低 的频率p1称为第一阶固有频率；较高的频率p2称为第二 阶固有频率。
由式看出，固有频率p1、p2与运动的初始条件无关， 仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、 弹性元件的刚度有关。
1 两自由度系统的自由振动
主振型
将第一固有频率p1代入
x1 A1 sin( pt )
x2 A2 sin( pt )
第一主振动
x11 x21
A11 A21
sin( p1t sin( p1t
x10 x20 0（2） t＝0，x10＝1cm， x20＝-1cm, x10 x20 0
第三章 两自由度系统的振动
第三章 两自由度系统的振动
目录
0 模型 1 两自由度系统的自由振动 2 坐标的耦联 3 拍振 4 两自由度系统的受迫振动
模型
工程中有很多实际问题必须简化成两个以上自由 度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主 要特征。
一个振动系统究竟简化成几个自由度系统的振 动模型，要根据系统的结构特点和所研究的问题 来决定。
2
)
x2 A2(1)
A2(2)
A1(1) , A1(2) , 1 , 2 由运动的初始条件确定。 1A11 A21 2 A12 A22
Mechanical and Structural Vibration
1 两自由度系统的自由振动
例题
例试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。 已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，再求该系统对以下两组初 始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， x20＝0,
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0
m2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2 0
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
Mx Kx 0
根据微分方程的理 论，设方程的解为
x1 A1 sin( pt )
x2 A2 sin( pt )
K p2 M A 0
1 1
) )
第二主振动 振幅比
第一主振型
第二主振型
x12 x22
A12 A22
sin( sin(
p2t p2t
2 2
) )
k11
p2m11 k21
k22
k12 p2m22
A1 A2
0 0
1
A21 A11
a p12 b
c d p12
k11 p12m11 k12
2