(2). 经过一次抽样否， f(X1,X2,…,Xn)又是由样 本值(x1,x2,…,xn)确定的一个统计值。
2. 常用的统计量（样本矩）
(1). 定义 样本k－阶原点矩
Ak
1 n
ni1
Xik
它们均是随机变量
它反映了总体k 阶矩 的信息
样本k－阶中心矩
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
Bk n 1 i n1(Xi X)k
10.随机性： X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。 20.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体
有相同的分布； 30.独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每
个样本值互不干扰。
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样 本，它可以用与总体独立同分布的n个随机变量 X1,X2,…,Xn表示.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
实际上，样本的分布与总体分布的关系如下
定理1. 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随 机样本的联合分布函数为
F ( x 1 , , x n ) F ( x 1 ) F ( x 2 ) F ( x n )
1. 定义 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行
“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样 本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本, f(X1,X2,…,Xn) 是一个不含任何有关总体分布未知参数的函数，称 为此总体的一个统计量，它是完全由样本决定的量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为 5
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具 体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值， 简称样本值 .
样本具有两重性：
10. 随机性 样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。
性质 2. 设 X 的 2k阶矩 2kE2X k存在，则
EkA k , DkA 2kn k 2
证
EA k En1 in1Xik
n1 in1 EXik
1
n
EXk
ni1
k
DA k Dn1 in1Xik
1 n2
n
DXik
i1
1 n22X kEkX 2
EX2k EXk 2
通常a用 k,bk,x,sn2表示相应统计值。
(2). 矩的性质
性质1. 设总 X的 k 体 阶矩,则 存在
由大数定 律可知
liP m X E X 1
n
n l iP m S n 2 D X 1
大样本条件下，一次抽样后样本均值、方差可 作为总体的均值、方差的近似。
一般地，抽样分为大样本和小样本问题。
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、 确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量 身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是 样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到 随机变量.
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
这样 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.
统计中，总体这个概念的要旨是：
总体就是一个随机变(向)量或其概率分布.
数理统计研究的内容： 总体相应随机变(向)量
的概率分布及数字特征.
2. 样本 (1). 抽样、样本、样本值
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从 总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关 总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所 抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体 数目称为样本容量.
统计量实际上也是一个随机变量，它是一个 随机向量的函数。
如 X ~N (,2)其 , , 中 未 . 知
X n1in1 Xi Bk n 1 i n1(Xi X)k 是统计量.
1n
ni1
Xi
2
1
2
n i1
X
2 i
不是统计量.
统计量的两重性
(1). 统计量f(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量,他有 确定的概率分布－抽样分布。
n
F(xi )
i 1
P ( X 1 x 1 , , X n x n ) P ( X 1 x 1 ) P ( X n x n )
n
n
联合 f(x 1 , x n 密 ) f X i(度 x i) f(x i)
i 1 n
i 1
联合p 分 (x1, x 布 n) 律 p(xi)
i 1
二、统计量
20. 相对确定性 经过一次抽样否，样本(X1,X2,…,Xn)又是 一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息， 必须考虑抽样方法.
(2). 简单随机样本
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面三点:
k=1,2,…
k=1时， A1称为样本均值
样本均值
X n1in1 Xi
它反映了总体 均值的信息
k=2时， B2称为样本方差
它反映了总体
样本方差 S2n 1 i n1(Xi X)2
方差的信息
修正 S n *2 方 n 1 1 差 i n 1(X i ： X )2
更加常用简称为 样本方差
两者关 Sn *2 系 nn 1： Sn 2
数学定义： n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分 布(X与同分布)，则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容 量为n的简单随机样本，简称为样本.
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时， 若不特别说明，就指简单随机样本.
3. 总体、样本、样本值的关系
第一基本概念与抽 样分布
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
由于每个个体的出现是随机的，所以相应 的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把 这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变 量的分布就是该数量指标在总体中的分布.