E l1 A Q
O1 K1
B
G1
F1
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
K2
图7
大兴安岭实验中学 杨丽英
由切线长定理知G1F2 G1D, F2G2 G2C,
A E G1
O1
B
F1
F2 G2
D
F O2 C
图2
所以G1G2 G1D G2C. 连接F1O1, F2O2, 容易证明EF1O1 FF2O2.
所以EO1 FO2.又因为O1 A O2C,所以EA FC. 于是可证得FCG2 EAG1.所以G1 A G2C .
G2 E
将图3 中的两个圆拓广
为球面, 将矩形A B CD看成 是 A O1 B 圆柱面的轴截面 , 将 EB、DF G1 F1 K1
拓广为两个平面 、 , EF 拓
广为平面 ,得到图4.显然,平 面与圆柱面的截线是椭圆 .根 D
据上面的结论, 你能猜想这个
P F2
O2
G2 C
K2
椭圆的两个焦点的位置吗 ?
所以G1G2 G1D G1 A AD.
在RtG2EB中, cos G2B
G2 E
A E G1
O1
B
F1
G2F1 ,即G2F1 G2E cos
G2 E
F2 G2
D
F O2 C
又因为 900 ,
所以G2F1 G2E cos G2E sin.
图3
由此得到结论:
1G2F1 G2F2 AD; 2G1G2 AD ; 3 G2F1 cos sin .
则PK 、PK 分别是两球面的切线 ,ห้องสมุดไป่ตู้切点为
1
2
K 、K .根据切线长定理的空间 推广, 知
1
2
PF PK , PF PK ,
1
1
2
2
所以PF PF PK PK AD.
1
2
1
2
由于AD为定值, 故点P的轨迹是椭圆.
A
O1
B
G1 F1
K1
P F2
D
O2
G2 C
K2
图6
我们知道椭圆存在 离心率和准线，你 能结合图7估计椭 圆的准线是那两条 吗？
图1
1 G2 F1 G2 F2与AD有什么关系? 相等
2 AD的长与G1G2的长有什么关系? 相等
3 G F 与G E有什么关系?
21
2
G2F1 cos sin .
G2 E
由图 2, 根据切线长定理有 G2F1 G2B, G2F2 G2C, 所以G2F1 G2F2 G2B G2C BC AD. 又因为G1G2 G1F2 F2G2 ,
图4
我们猜想, 两个焦点可能在
两个球与斜截 面的切点上, 即过球心 O1、O2 分别作斜 截面的垂线,其垂足 F1、F2 就可能是焦点.为此, 我们需 要证明: 对于截口上任意一 点P,有PF1 PF2 定值.
A
O1
B
G1 F1
K1
P F2
D
O2
G2 C
K2
探究 如图5,当点P与G2
重合时,可以得到什么结论 ?
图5
当点P在其他位置时, 还有这个结论吗 ?
由于图5 就是图6 经过母线 AD、
BC的轴截面,由前面已有的结论 ,当点
P与G 重合时, 有G F G F AD.
2
21
22
当点P不在端点时, 连接PF、PF ，则PF、
1
2
1
PF 分别是两个球的切线 2
,
切点为
F、F
1
2
.
过P作母线, 与两球面分别相交于 K 、K , 2 1
大兴安岭实验中学 杨丽英
探究 : 如图1, AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ,
A E G1
O1
B
AD、BC与两圆相切.作两圆的公切线EF, F1
切点分别为F 、F , 交BA、DC的延长线于
F2
G2
12
D
E、F , 交 AD于G , 交 BC于G .设EF与BC
F O2 C
1
2
、CD的交角分别为、 .