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∴AAHI ＝DBCE，即61036－0 x＝1x3. 13
解得 x＝728209. ∵6107>728209， ∴最大边长为6107步．
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归类探究
类型之一 利用相似解决生活实际问题 [2018·陕西]周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测
量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸 边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在点 B 竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线 上选择点 D，竖起标杆 DE，使得 E，C，A 三点共线．已知 CB⊥AD，ED⊥AD， 测得 BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量 信息，求河宽 AB.
相交于点 G.若 AE＝3ED，DF＝CF，则AGGF的值是( C )
A.43
B.54
C．65
D.76
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【解析】 设正方形 ABCD 的边长为 4a. ∵AE＝3ED，DF＝CF， ∴AE＝3a，ED＝a，DF＝CF＝2a. 如答图，延长 BE，CD 交于点 M， 易得△ABE∽△DME， ∴DAEE＝DAMB ，即3aa＝M4aD.
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解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠ABC＝∠ADE＝90°. 又∵∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE. ∴DBCE＝AADB. ∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m， ∴11.5＝ABA＋B8.5.解得 AB＝17 m. ∴河宽 AB 为 17 m.
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【解析】 ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°. 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD. ∴AAOB＝CCOD，即14.6＝C1D. ∴CD＝0.4 m．故选 C.
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3．[2019·毕节]如图，在一块斜边长 30 cm 的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一
桌面上，里面盛有水，水面高为 6 cm，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好
触到容器口边缘，如图②，则图②中水面高度为( A )
24 A. 5 cm
32 B. 5 cm
12 34 C. 17 cm
20 34 D. 17 cm
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【解析】 如答图，设 DM＝x，则 CM＝8－x. 根据题意，得(8－x)·3×3＋12·x·3×3＝3×3×6， 解得 x＝4，∴DM＝4. ∵∠D＝90°，由勾股定理，得 BM＝ BD2＋DM2＝ 32＋42＝5， 过点 B 作 BH⊥AH 于点 H.
中考学练测·数学[人教]
第二部分 第十章 第33课时
第二部分 图形与几何
第十章 相似形 第33课时 相似的应用
考点管理 中考再现 归类探究 课时作业
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考点管理
1．相似三角形的应用 应 用：(1)几何图形的证明与计算，主要包括求解线段的数量关系、线段的长 度、图形的面积等问题，解决这类问题一般先根据题中条件，寻找出相似的三角 形，再利用相似三角形的性质来解答； (2)生活中与相似三角形有关的实际问题，如：①利用投影、平行线、标杆等构造 相似三角形求解问题；②测量底部可以到达的物体的高度；③测量底部不可以到 达的物体的高度；④测量不可以到达对岸的河的宽度等．
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∴OFBA＝OFAD. ∵BD∥x 轴，A(2,0)，D(0,4)， ∴OA＝2，OD＝4＝BF. ∴24＝A4F， ∴AF＝8，
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∴OF＝10，E(5,4)． ∵双曲线 y＝kx过点 E， ∴k＝5×4＝20.故选 B.
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1．[2018·泸州]如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF 与 BE
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【解析】 如答图，连接 OC，BD. ∵将△AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处， ∴OA＝OE. ∵点 B 恰好为 OE 的中点， ∴OE＝2OB， ∴OA＝2OB.
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设 OB＝BE＝x，则 OA＝2x， ∴AB＝3x. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB＝3x. ∵CD∥AB， ∴△CDF∽△BEF， ∴CBDE＝DEFF＝3xx＝13.
【解析】点 A 的对应点 C 的坐标是－2×12，4×12或－2×－12，4×－12，即(－ 1,2)或(1，－2)．
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课时作业
(67 分)
一、选择题(每题 5 分，共 35 分)
1．[2018·临沂]如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度 CD.已知标杆 BE 高 1.2 m，
测得 AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物 CD 的高是( B )
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∴MD＝43a. ∴MF＝MD＋DF＝130a. 又易得△ABG∽△FMG， ∴AFGG＝FAMB ＝140a ＝65.
3a
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2．[2019·衢州]如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，▱ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，将△AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE 的中点，DE 与 BC 交于点 F.若 y＝kx(k≠0) 的图象经过点 C，且 S△BEF＝1，则 k 的值为 24 .
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类型之三 坐标系中的位似变换 [2018·潍坊]在平面直角坐标系中，点 P(m，n)是线段 AB 上一点，以原点 O
为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为( B ) A．(2m,2n) B．(2m,2n)或(－2m，－2n) C.12m，12n D.12m，12n或－12m，－12n
(2)一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一； (3)将一个图形放大或缩小而保持形状不变．
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中考再现
1．[2019·邵阳]如图，以点 O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的 2 倍得到△ A′B′C′，以下说法中错误的是( C ) A．△ABC∽△A′B′C′ B．点 C、点 O、点 C′在同一直线上 C．AO∶AA′＝1∶2 D．AB∥A′B′
－x)步．
根据题意易得△ADE∽△ABC，
∴AADB＝DBCE，
即121－2 x＝x5.
解得 x＝6107.
第 2 题答图①
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(2)设正方形的边长为 x 步， 易得△ABC 的 BC 边上的高为6103步， 则 AI＝6103－x步． 易得△ADE∽△ABC.
第 2 题答图②
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(2)位似图形是一种特殊的相似图形，它的每一组对应点所在的直线都经过同一个 点；
(3)位似是一种重要的图形变换方式，利用位似变换可以将一个图形放大或缩小．
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3．位似图形的性质 性 质：(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 位似比 ； (2)位似图形对应点的连线或延长线 相交于一点 ； (3)位似图形中的对应线段 平行且成比例 ； (4)位似图形的对应角 相等 ．
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【解析】 当放大后的△A′OB′与△AOB 在原点 O 同侧时，点 P 的对应点的坐 标为(2m,2n)；当放大后的△A′OB′与△AOB 在原点 O 两侧时，点 P 的对应点 的坐标为(－2m，－2n)．故选 B.
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3．[2019·滨州]在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(－2,4)，B(－ 4,0)，O(0,0)．以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO， 则点 A 的对应点 C 的坐标是 (－1,2)或(1，－2) ．
A．16
B.20
C．32
D.40
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【解析】 如答图，过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F，则∠AFB＝∠DOA＝90°. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ED＝EB，∠DAB＝90°， ∴∠OAD＋∠BAF＝∠BAF＋∠ABF＝90°， ∴∠OAD＝∠FBA. ∴△AOD∽△BFA.
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类型之二 相似三角形与其他知识的综合运用
[2019·重庆 A 卷]如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分
k 别在 x 轴、y 轴上，对角线 BD∥x 轴，反比例函数 y＝x(k>0，x>0)的图象经过矩
形对角线的交点 E.若点 A(2,0)，D(0,4)，则 k 的值为( B )
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【解析】∵以点 O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的 2 倍得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′，点 C、点 O、点 C′在同一直线上，AB∥A′B′. AO∶AA′＝1∶3.选项 C 错误，符合题意．故选 C.
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2．[2018·岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五
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4．画位似图形的步骤 步 骤：(1)确定位似中心； (2)将图形各顶点与位似中心连接(或延长)； (3)按位似比取点； (4)顺次连接各点，即得所求的图形． 注 意：(1)位似中心可以是任意一点，这个点可以在多边形的内部或外部或在 多边形上，但具体问题一般要考虑画图方便且符合要求；
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