将上式展开得：
xt 1xt1 p xtp 0 at 1at1 2at2 qatq
此时，所要估计的未知参数有p+q+1个.
第二节 模型识别与定阶
一、模型识别 二、模型定阶
一、模型识别
• 基本原则
ˆk
拖尾 q阶截尾
拖尾
ˆkk
P阶截尾 拖尾
拖尾
选择模型 AR(P) MA(q)
ARMA(p,q)
• 序列的非平稳包括均值非平稳和方差非 平稳.
• 均值非平稳序列平稳化的方法：差分变 换.
• 方差非平稳序列平稳化的方法：对数变 换、平方根变换等.
• 序列平稳性的检验方法和手段主要有： 序列趋势图、自相关图、单位根检验、 非参数检验方法等等.
一、平稳性检验—图检验方法
（一）时序图检验
–根据平稳时间序列均值、方差为常数的性 质，平稳序列的时序图应该显示出该序列 始终在一个常数值附近随机波动，而且波 动的范围有界、无明显趋势及周期特征.
–检验1949年——1998年北京市每年最高气温 序列的平稳性
例1 时序图
例1 自相关图
例2 时序图
例2 自相关图
例3 时序图
例3 自相关图
二、纯随机性检验
（一）纯随机序列的定义
• 纯随机序列也称为白噪声序列，它 满足如下两条性质
(1)EX t , t T
(2)
(t,
s)
2,t
s
,
例5、对1950年—1998年北京市城乡居民定期储
蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验
自相关图
白噪声检验结果
延迟阶数 6 12
LB统计量检验
LB检验统计 量的值
75.46
P值 <0.0001
82.57
<0.0001
三、计算样本相关函数
• 样本自相关函数 • 样本偏自相关函数
nk
(xt x)(xtk x)
稳序列后再进行模型识别.
二、模型定阶
模型定阶的困难
• 因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会 呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 ˆk 或 ˆkk 仍会呈现出小值振荡的情况
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
四、关于非零均值的平稳序列
非零均值的平稳序列有两种处理方法： 设xt为一非零均值的平稳序列，且有E(xt)=μ
• 方法一: 用样本均值 x 作为序列均值μ的估
计，建模前先对序列作如下处理：
令 wt xt x
然后对零均值平稳序列wt建模.
k>q 时，k 0，而且它的偏自相关函数
尾，则可判断此序列是MA(q)序列.
kk拖
• 若序列xt的自相关函数、偏相关函数都呈拖 尾形态，则可断言此序列是ARMA序列.
• 若序列的自相关函数和偏自相关函数不但都 不截尾，而且至少有一个下降趋势势缓慢或
呈周期性衰减，则可认为它也不是拖尾的，
此时序列是非平稳序列，应先将其转化为平
（二）自相关图检验
– 平稳序列通常具有短期相关性.该性质用自 相关函数来描述就是随着延迟期数的增加， 平稳序列的自相关函数会很快地衰减向零.
例题
• 例1
– 检验1964年——1999年中国纱年产量序列的 平稳性
• 例2
–检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛 月产奶量序列的平稳性
• 例3
• 方法二 在模型识别阶段对序列均值是否为零不予考 虑，而在参数估计阶段，将序列均值作为一 个参数加以估计.
以一般的ARMA(p,q)为例说明如下：
设平稳序列xt的均值为, 其适应性模型为ARMA( p, q),即 : (xt ) 1 (xt1 ) p (xt p ) at 1at1 2 at2 q atq
第四章 平稳时间序列模型 的建立
第一节 第二节 第三节 第四节
第五节
时间序列的预处理 模型识别与定阶 模型参数估计 模型检验与优化
其它建模方法
建模步骤
1、建模流程
（有限长度）时序样本→模型识别与 定阶→模型参数估计→模型适用性检验→ 模型优化
2、基本前提
⑴平稳序列{Xt} ⑵零均值序列EXt=0
平
,k 0
2、假设条件
• 原假设：延迟期数小于或等于 m期的序列 值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
• 备择假设：延迟期数小于或等于 m 期的 序列值之间有相关性
H1：至少存在某个k 0,m 1，k m
3、检验统计量
• Q统计量
m
Q n
ˆ
2 k
~
2 (m)
k 1
平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列 为纯随机序列的假定
5、应用举例
例4、标准正态白噪声序列纯随机性检验
样本自相关图
检验结果
延迟
延迟6期 延迟12期
QLB 统计量检验
QLB 统计量值
2.36
5.35
P值 0.8838 0.9454
由于P值显著大于显著性水平 ，所以该序列
不能拒绝纯随机的原假设.
t,
s
T
0,t s
（二）纯随机性检验
检验原理 假设条件 检验统计量 判别原则 应用举例
1、检验原理
Barlett定理
• 如果一个时间序列是纯随机的，得到一 个观察期数为n的观察序列，那么该序列 的延迟非零期的样本自相关系数将近似 服从均值为零，方差为序列观察期数倒 数的正态分布
ˆ k
~
N (0, 1 ) n
• LB统计量
m
LB n(n 2)
(
ˆ
2 k
) ~ 2 (m)
k1 n k
4、判别原则
• 拒绝原假设
–当检验统计量大于12 (m) 分位点，或该统计
量的P值小于 时，则可以以 1 的置信水
平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列
• 接受原假设
–当检验统计量小于12 (m) 分位点，或该统计
量的P值大于 时，则认为在 1的置信水
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
流程图
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型
Y型
列
检验
优预化测第一节 时间序列的预处理
一、平稳性检验 二、纯随机性检验 三、计算样本自相关函数 四、关于非零均值的平稳序列
• 本章所介绍的是对零均值平稳序列建 立ARMA模型，因此，在对实际的序 列进行模型识别之前，应首先检验序 列是否平稳，若序列非平稳，应先通 过适当变换将其化为平稳序列，然后 再进行模型识别.
• 零均值平稳序列模型识别的主要根据是 序列的自相关函数(ACF)和偏自相关函数 (PACF)的特征.
• 若序列xt的偏自相关函数kk 在k>p以后截 尾，即k>p 时，kk 0，而且它的自相关 函数k 拖尾，则可判断此序列是AR(p)序
列.
• 若序列xt的自相关函数 k在k>q以后截尾，即