高考数学重点题型：参数取值题型与分析（Ⅰ）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范 围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8.说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。

设f(t)= 2t2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。

∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式f(k -sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。

分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k2-sin2x ≤1对于任意x ∈R 恒成 立，这又等价于⎪⎩⎪⎨⎧----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。

不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即-1≤k ≤1----------(3)不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2-k+41≥[(sinx -21)2]max=49,即k ≤-1或k ≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得k=-1,故存在k=-1适合题设条件。

说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。

例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB 的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =B Ax x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =B Ax x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PBAP ； 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k ， 解之得.4959627222,1+-±-=k k k x因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PBAP-==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k=25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以 51592918112-<-+-≤-k ，综上511-≤≤-PB AP .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PBAP-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得952≥k ，从而有5362045324422≤+≤k k ，所以536214≤++≤λλ， 解得551≤≤λ.结合10≤<λ得151≤≤λ.综上，511-≤≤-PB AP .说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。

尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例4．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D （0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tan 的取值范围是（）(A))1,31( (B))32,31( (C))21,52((D))32,52(分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动,本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设4P 与AB的中点P 重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC 、CD 、DA 的中点，所以1tan 2θ=．由于在四个选择支中只有C 含有12，故选C ．当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如 图2所示）．说明 由本题可见, 探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．(0,0)A 1P 2P 3P 4P B(2,0)C(2,1)D(0,2)Px y 图1AB P 1P 2P 3P 4P 2'P 3P 3'P 4P4P 4'P CD yxH图2例5．当x∈(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。

解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x∈(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

故loga2>1,a>1,∴1<a ≤2.例6．函数y=(x -1)log 23a -6xlog3a+x+1，其中在x ∈[0,1]时函数恒正，求a 的范围。

解：排除对数log3a 的干扰，选x 为“主元”化函数为 y=f(x)=(log32a -6 log3a+1)x+1-log32a, x ∈[0,1]. 一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x 轴的上方。

故有：.31log 1,3310)1(0)0(033<<-∴<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>>a a f f a说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有()0()0f m f n <⎧⎨<⎩例7．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即(x -1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.例8.设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=4（a -1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x)≥0恒成立；ⅱ）当∆=4（a -1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0a f 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为[-3，1]说明：若二次函数y=ax2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。