椭圆【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、椭圆的定义及其标准方程 椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、椭圆的几何性质焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 椭圆椭圆的定义与标准方程方程椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 椭圆的综合问题最大（小）值问题椭圆的弦问题 椭圆离心率及离心率的范围问题(,0)F c -，(,0)F c(0,)F c -，(0,)F c直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b+=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP 12|x x - 同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -椭圆的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22221x y a b +=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 【典型例题】类型一：椭圆的方程与性质例1.若方程22221(1)x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A.12m > B. 12m < C. 112m m >≠且 D. 102m m <≠且 【变式1】已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在xG 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为（ ）A.221369x y += B. 221936x y += C. 22149x y += D.22194x y += 【变式2】已知椭圆过两点(2,求椭圆的标准方程.例2. 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．【变式】已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <4例3.若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )A.221259x y+= B.221259x y+= (y≠0) C.221169x y+=(y≠0) D.221259x y+= (y≠0)【变式】ABC∆的底边16=BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．类型二：直线与椭圆的位置关系例4.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中点，若|AB|＝||AB=OC的，求椭圆的方程．【变式1】设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为F1、F2，点P（a,b）满足| F1F2|=| PF2|，设直线PF2与椭圆交于M，N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（）A．221144108x y+= B．22110075x y+= C．2213627x y+= D．2211612x y+=【变式2】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，，0)y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．类型三：椭圆中的最值问题例5 .AB 为过椭圆22221x y a b+=中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．b cC ．abD ．ac【变式】设P 是椭圆2221(1)x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求||PQ 的最大值【巩固练习】 一、选择题1.设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P (x ，y )满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a (a >0)，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆、线段或不存在 D ．不存在2.椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( )A ．D ．3.若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=（ ）A.32 C.83 D.234.以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于( )A.12B.2C.2D.55.过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A. 22B. 2C. 2D. 16.已知椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是( )A.2213620x y +=B.2212812x y += C.221259x y += D.221204x y +=二、填空题7.已知B(-2,0),C(2,0),A 为动点,ABC ∆的周长为10,则动点A 的满足的方程为___________.8.在△ABC 中,∠A=90°,tanB=43.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________. 9.设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 .10.若过椭圆221164x y +=内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________． 三、解答题11.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．12.已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A13.已知F 1、F 2是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝3π，求△F 1PF 2的面积．14.求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2)的椭圆的标准方程．15.已知一直线与椭圆2212xy+=交于A、B两点.（1）若弦AB的段中点坐标为11(,)22，求直线AB的方程；（2）若直线AB的斜率为2，求弦AB的中点M的轨迹方程.16.设椭圆E的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0),点B的坐标为(0，b),点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为10。

(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MN AB．【答案与解析】例1.【答案】D⊥【解析】由题知22(1)0,m m ->>所以102m m <≠且，选D【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c 的不同【变式1】【答案】A【变式2】【答案】设椭圆的方程为221,mx ny +=因为(2,在椭圆上 所以有4151415m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得151m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以所求椭圆方程为2215x y +=例2.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．【总结升华】本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆. 【变式】【答案】B 例3.【答案】 D【解析】 |AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 【变式】【答案】（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ．①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4.【解析】 由2211ax by x y ⎧+=⎨+=⎩得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则||AB ==.∵||AB =1=.①设C (x ，y )，则122x x b x a b +==+，1ay x a b=-=+， ∵OC的斜率为2，∴2a b =.代入①，得13a =，3b =∴椭圆方程为22133x y +=. 【总结升华】处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法 【变式1】【答案】B【解析】因为点P （a,b ）满足| F 1F 2|=| PF 2|2,c = 整理得2210e e +-=，得12e =所以2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF 2的方程为)y x c =-，代入椭圆方程，消去y 并整理，得2580,x cx -=解得0x =或85c得8(0,N ,5M c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以16|MN |16,5c ==所以c=5,所以椭圆方程为22110075x y +=，故选：B 。