Sloc D1 D2 D3 D2 D2
1.分解1：R1<Sno, >、R2<Sdept, >、R3<Sloc, >
分解后的DB无法恢复到原来的情况。
表1：R的一个关系r
Sno 99001 99002 99003 99004
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Sloc D1 D2 D3 D2
99005
三、保持函数依赖的分解

定义:设ρ={R1<U1, F1>,…, Rk<Uk,Fk>}是R<U,F>的一
个分解，若 F ( Fi ) , 则保持函数依赖。
i 1

k

其中Fi＝∏Ui F. 例7: 已知R<U,F>,U={A,B,C},F={A→B，C→B} 判断ρ 1={AC,AB}是否具有依赖保持性？ 例8: 已知R<U,F>,U={ABCDEF}, F={A→B,E→A,C→F, CE→D}，判断ρ 2={ABE,CDEF}是否具有依赖保持性？
记FDi为 Xi－>Ali 1）建立一个n列k行的表。每列对应一个属性Aj ，每行对应一个子 关系模式的属性集Ui 。若Aj属于Ui，则在第i行j列交叉处填上aj， 否则填上bij； 示例 2）对每个FDi做如下操作：找到Xi所对应的列中具有相同符号的那 些行，考察这些行中li列的元素，若其中有ali则全部改为ali，否则 全部改为bmli；m是这些行的行号最小值（若某个btli被更动 ，那 么该表的li列中凡是btli的符号均作相应更改）。 若有一行成为a1，…，an。则算法终止，分解具备无损连接性。 对F中个FD逐一进行上述处理，称为对F的一次扫描。
判断一个分解是否具有无损连接性 方法一: 定理：已知R<U,F>的一个分解 ρ={R1<U1,F1>,R2<U2,F2>}, ρ具有无损连接性的充 要条件是 (U1∩U2)→(U1-U2)∈F+ 或(U1∩U2)→(U2-U1)∈F+ 证明从略。 例3: 已知R<U,F>, U={A,B,C}, F={A→B, C→B}。分解 ρ1={R1(AB), R2(BC)}、分解ρ2={R1(AC), R2(BC)}是否 具备无损连接性？
例9：已知R<U,F>, U={C, T, H, I, S, G}， 最小集F={C→T, CS→G, HT→I, HI →C, HS→I}， 将R分解为3NF且具有函数依赖保持性。
四、模式分解的算法
算法2： 分解为3NF，既具有无损连接性又保持函数依赖 ①设X是R<U,F>的码。R由算法1分解为ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,…, Rn<Un,Fn>}，令τ＝ρ∪{ R*<X, FX> } ②若有某个Ui, X Ui,将R*从τ中去掉。 ③τ即为所求。
3）比较扫描前后，若表有变化，则返回2）；若表无变化，则算法 终止，分解不具备无损连接性。
示例 （第1步）
示例（第2步）
考察C->D:
考察AB->C:
考察D->E:
练习： 设有关系模式R<U,F>, U={E,G,H,I,J}, F={E->I, J->I, I->G, GH->I, IH->E}, 判断ρ= {EG, EJ, JH, IGH, EH} 是否为无损连 接分解。
例4：已知R<U,F>,U={ABCDEF} , F={A→B,C→F,E→A,CE→D } ρ={R1(ABE), R2(CDEF)}是否具备无损连接性？
判断一个分解是否具有无损连接性 方法二： （通用算法）
ρ={R1<U1,F1>,…,RK<UK,FK>}是R<U,F>的一个分解， U={A1,…,An}, F={FD1,…,FDm}，并设F是一极小依赖集，
4.key 5.属性闭包 X+ 6.FD集的等价，若F+ =G+ ，则F与G等价 7.最小FD集Fmin 二、R的规范化 1.1NF,2NF,3NF,BCNF 2.R设计原则 三、模式分解 1.无损联接性，检验算法。 2.依赖保持性，检验方法。 3.模式分解的算法
例2：已知关系模式R<U,F>,其中 U＝{Sno,Sdept,Sloc},F={Sno->Sdept,Sdept->Sloc}. 分析R属于？NF，并分析模式分解中存在的问题。
表1：R的一个关系r
Sno 99001 99002 99003 99004 99005
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四、模式分解的算法
算法3（分解法）：分解为BCNF,且具有无损连接性。 步骤： ①令ρ={R<U,F>} ②检查：若ρ中所有关系模式均属于BCNF，则算法终止。 ③ 若ρ中Ri<Ui,Fi>不属于BCNF,则必有X→A∈Fi+,且X不是 Ri的码，显然AX是Ui的真子集。对Ri进行分解:{Ri1,Ri2}, 其 中 Ui1=XA, Ui2=Ui-{A}, 用 分 解 {Ri1<Ui1,Fi1 >, Ri2<Ui2,Fi2 >}代替Ri<Ui,Fi>,转②
四、模式分解的算法
算法1（合成法)： 将R<U,F>分解为3NF并保持函数依赖的算法 ①对R<U,F>中的函数依赖集F进行极小化处理（处理后 的结果仍记为F）； ②找出不在F中出现的属性，把它们构成一个关系模式。 并把这些属性从U中去掉（剩余的属性仍记为U）； ③若X→A∈F且XA=U,则ρ={R}，算法终止； ④否则，对F按具有相同左部的原则分组，每组函数依 赖 Fi 所 涉 及 的 全 部 属i 性 形 i成 U j 个 属 性 集 Ui ； 若 U Ui U 一 Ui包含于Uj就去掉Ui。 ⑤停止，是3NF且具有依赖保持性。
6.4
模式的分解
模式分解的定义 无损连接分解 保持函数依赖的分解 模式分解的算法
一、关系模式分解的定义
关系模式R<U,F>的一个分解是指 ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,…, Rn<Un,Fn>} 其中U= U1∪U2∪…∪Un ，并且没有Ui Uj, i≠j ， Fi是F在Ui上的投影。
一、函数依赖 1.FD定义：若r中任意两个元组t，s，如果t[x]=s[x]导致 t[y]=s[y] ,则x→y。 2.FD的逻辑蕴涵，F+ ={X→Y| X→Y是从F用推理系统推出} 3.Armstrong推理系统 自反，若Y X, 则X→Y 增广，若X→Y 则XZ→YZ 传递，若X→Y,Y→Z, 则X→Z 推论： 合并，若X→Y ,X→Z, 则X→YZ 分解，若X→YZ, 则X→Y,X→Z 伪传递，若X→Y,WY→Z，则XW→Z
模式分解的目标 无损连接
保持函数依赖
达到更高级范式
二、无损连接的分解

引入一个记号：设ρ={R1, R2,…, Rk} 是R<U,F>的一 k 个分解，r是R<U,F>的一个关系。定义mρ(r)= ∏Ri(r) 即mρ(r)是r在ρ中各关系模式上投影的自然连接。
i=1
定义：ρ={R1<U1,F1>,…,Rk<Uk,Fk>}是R<U,F>的一个分解. 若对R的任一关系r都有r = mρ(r)，则称具有无损连 接性。简称为无损分解。
例10：已知R<U,F>, U={C, T, H, I, S, G}， 最小集F={C→T, CS→G, HT→I, HI→C, HS→I}， 将R分解为BCNF且为无损分解。
作业：
1.对给定的关系模式R<U,F>,U={A,B,C,D,E,P}, F={A->B, C->P, E->A, CE->D},有如下分解： ρ={R1(ABE), R2(CDEP)} 1)求R的候选码，并判断ρ是否无损 2）R1,R2分别属于第几范式 2. 关系R(ABCDE)满足下列函数依赖： F={A->C, C->D, B->C, DE->C, CE->A} 1)求R的候选码 2)判断ρ={AD, AB, BC, CDE, AE}是否无损连接分解 3)分解R为BCNF，并具有无损连接性
3.分解3： R1 Sno
99001 99002 99003 99004 99005
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Sloc D1 D2 D3 D2 D2
R2
分解可恢复， 并且解决了异常。
Sdept Sloc D1 D2 D3 D2
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F在Ui上的投影（记作∏Ui F）是指 函数依赖集合{X→Y| X→Y∈F+∧XYUi}的一个覆盖Fi。 例1:已知R<U,F>,U＝{A,B,C,D}, F={A->BD, D->C}, 如 果将R分解为R1(U1, F1)和R2(U2, F2), 其中U1={A,B,D}, U2={A,C}, 则F1,F2分别是？
2.分解2： R1 Sno
99001
99002 99003
管理
D2
R2
分解后可以恢复， 但仍然存在插入和删除异常。
Sno Sloc
Sdept
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99001
99002
D1
D2 D3
99004
99005
电信
管理
99004
99005
D2
D2
表1：R的一个关系r