导数的概念及其运算第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、函数21()ln 2f x x x =-,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2、若0()2f x '=,则=--→kx f k x f k 2)()(lim000( )A.0B. 1C. —1D.23、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( ) A.034=--y x B.034=-+y x C.034=+-y x D.034=++y x4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( ) A.︒30 B.︒45 C.︒60 D.︒1205、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则2010()f x =( )A.x sinB. x sin -C.cos x -D.cos x6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( ) A.5 B.52 C.53 D.07、已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若'()1f a =,则a =( )A.2log e 或22log (log )eB.ln 2C.2log eD.2或22log (log )e 8、下列结论不正确的是( )A.若3y =,则0y '=B.若3y x =,则1|3x y ='=C.若y =则y '= D.若y =,则y '=9、已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3,则切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定10、已知点P(1,2)是曲线22y x =上一点,则P 处的瞬时变化率为( ) A.2 B.4 C.6 D.21 11、曲线n y x =在2x =处的导数为12,则n =( ) A.1 B.2 C.3 D.412、设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 ( ) A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、已知2()2(1)f x x x f '=+⋅,则=')0(f ________ 14、直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数=b _________ 15、已知曲线12-=x y 在0x x =点处的切线与曲线31x y -=在0x x =处的切线互相平行,则0x 的值为____________16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'xx f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值.18、(12分)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,求切点坐标与切线方程.20、(12分)已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P ,且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =解析式.21、(12分)设函数xbax x f -=)(,曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 01247=--y x .(1)求)(x f y =的解析式(2)证明:曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22、(14分)已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan x x =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案一、选择题1.D ()f x 的定义域为(0,)+∞,不关于原点对称.2.C 原式=00001[()]()1lim ()12()2k f x k f x f x k -→+--'-=-=--. 3.A 与直线084=-+y x 垂直的直线l 为04=+-m y x ,即4x y =在某一点的导数为4,而34x y =',所以4x y =在)1,1(处导数为4,过此点的切线为034=+-y x .故选A4.B 232-='x y ,1=∴k ,倾斜角为︒455.D 1()cos f x x =,2()sin f x x =-,3()cos f x x =-,4()sin f x x =,201050242=⨯+, ∴2010()f x =1()cos f x x =.6.A 由曲线得221y x '=-,设直线20x y c -+=与曲线切于点00(,)P x y ,则02221x =-,∴01x =,00ln(21)0y x =-=,得(1,0)P ,所求的最短距离为d ==.7.C 当0a >时,21'()1log ln 2f a a e a ==⇒=; 当0a ≤时,'()2ln 21a f a ==,而021,0ln 21a <≤<<,矛盾! 8.D9.B 33)(2=='x x f ,解得1±=x ,故有两个切点)1,1(和)1,1(--,所以有两条切线 10.B 4411=='==x x x y 11.C 3,431221212=∴⨯==⋅=⋅='-=-=n n x n y n x n x12.A'()x x f x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x x f x e e -=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2x x f x e e -=-=,得02x e =或012x e =-(舍去),∴0ln 2x =.二、填空题13.—4 ()22(1)(1)22(1)f x x f f f ''''=+⇒=+,∴(1)2f '=-,有2()4f x x x =-,()24f x x '=-,∴(0)4f '=-.14.12ln - x y 1=',令211=x 得2=x ,故切点为)2ln ,2(,代入直线方程,得b +⨯=2212ln ,所以12ln -=b 15.00x =或023x =- 212,y x y x '=-⇒=3213y x y x '=-⇒=-,∴20023x x =-,解得00x =或023x =-.16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时,()(1)()1f x f f x x x ->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞. 三、解答题17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x al 与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a ∴a 的值为118.18.解:(1)()'()f x f x +))ϕϕ=+-+5)6πϕ=++, 又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=ϕ6π.(2)由(1)得()'()f x f x +)=+π=-. ∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-. 19.解: 切线与直线34+=x y 平行, 斜率为4 又切线在点0x 的斜率为0320(10)31x x y x x x ''=+-=+∵41320=+x ,∴10±=x ,有⎩⎨⎧-==8100y x ,或⎩⎨⎧-=-=12100y x , ∴切点为)8,1(-或)12,1(--,切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412-=+x y , 即124-=x y 或84-=x y .20.解:由f(x)的图象经过)2,0(P ,知2=d ,所以2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ,知07)1(6=+---f , 即6)1(,1)1(=-'=-f f∴326121b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩,即⎩⎨⎧=--=-032c b c b ,解得3-==c b ,故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f 21.解:(1)方程01247=--y x 可化为347-=x y ,当12,2x y ==时;又2)(x b a x f +=',于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-4742122b a b a ,解得⎩⎨⎧==31b a故xx x f 3)(-= (2)证明:设),(00y x P 为曲线上任一点,由231xy +='知曲线在点),(00y x P 处的切线方程为))(31(0200x x x y y -+=-,即))(31()3(02000x x x x x y -+=-- 令0=x ,得06x y -=,从而得切线与直线0=x 的交点坐标为)6,0(0x -; 令x y =,得02x x y ==,从而得切线与直线x y =的交点坐标为)2,2(00x x ; 所以点),(00y x P 处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为6|2||6|2100=-x x ; 故曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线.由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵44sin x kx =,于是44tan x x =. (2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441sin 3sin 3x x =.由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴41sin(32x ∈,有433sin (32x ∈,即43sin (2x ∈,与4sin 1x <矛盾!故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列.。