选修2-2 2.1.2 演绎推理
一、选择题
1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析]由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是()
A．大前提错
B．小前提错
C．结论错
D．正确的
[答案] D
[解析]前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.
3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()
A ．类比推理
B ．归纳推理
C ．演绎推理
D ．一次三段论
[答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13x
是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)”．上面推理的
错误是( )
A ．大前提错导致结论错
B ．小前提错导致结论错
C ．推理形式错导致结论错
D ．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 对数函数y ＝log a x 不是增函数，只有当a >1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②
[答案] B
[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是()
A．①
B．②
C．①②
D．③
[答案] B
[解析]易知应为②.故应选B.
7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理()
A．大前提错
B．小前提错
C．推论过程错
D．正确
[答案] C
[解析]大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()
A．正确
B．推理形式正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
[答案] A
[解析]三段论的推理是正确的．故应选A.
9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为()
[答案] A
[解析]如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一
概念S，这时三者的包含可表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时
三者的关系应为．故应选A.
10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是() A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
二、填空题
11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．
[答案] log 2x －2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0.
12．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a 2＋b 2≥2ab ，
∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .
[答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .
13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x
＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.
[答案] 12
[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)
即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①
令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ②
由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，
即f (x －1)＝－f (x ＋2)
∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)
∴f (x )＝f (x ＋6)
即f (x )周期为6，
∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)
对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得
4f (1)f (0)＝2f (1)，
∴f (0)＝12即f (2010)＝12. 14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等
[解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝13S △AOB ·h ，
又S △AOB ＝12|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．
因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．
三、解答题
15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
[证明]如下图延长AB，DC交于点M.
①平行线分线段成比例大前提
②△AMD中AD∥BC小前提
③MB
BA
＝MC
CD
结论
①等量代换大前提
②AB＝CD小前提
③MB＝MC结论
在三角形中等边对等角大前提
MB＝MC小前提
∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论
等量代换大前提
∠B＝π－∠1∠C＝π－∠2小前提
∠B＝∠C结论
16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．
[证明]若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．
若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．
[解析]推理的第一个关键环节：
大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，
小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．
∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
以下可得出结论a＝－4.
18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．
[解析] (1)F ∈l ⇔|F A |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0.
∴上述条件等价于
y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.
∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F .
(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过
点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2＋12x －
m ＝0，得x 1＋x 2＝－14.
A 、
B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋
8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则
x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，
y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .
由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是
b ＝516＋m >516－132＝932.
即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫932，＋∞.。