圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学 ，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆12222=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x .双曲线12222=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-by y a x x .抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px .命题 2圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.以上结论在文[2]中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____.P 在椭圆内 P 在椭圆外解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为[)22,2.第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线1200=+y y xx 并不经过()00,y x P .还有学生看到1200=+y y xx 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ⋅的值.解析：（I ）C 的标准方程为.1422=-y x C 的渐近线方程为.21x y ±= （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E EMN 的方程求出后剩下工作属常规计算.设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+,02,4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及 解得.2224,22,24⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=E E N E E N E E C E E C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ⋅=⋅-⋅+-+-.41222EE y x -= 因为点E 在双曲线.44,142222=-=-E E y x y x 有上所以2212 3.4E E OG OH x y ⋅==- 分析：如果是常规方法求直线MN 的方程，只能是观察：由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（Ⅰ）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （Ⅱ）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （Ⅲ）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T 的坐标为(9,)m直线)3(12:+=x my TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M直线)3(6:-=x my TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N 当12x x ≠时，直线MN 方程为：22222222220)20(380)80(320)20(3202080402020m m m m m m x m m m m m m y +--+-+--=+++++ 令0y =，解得：1x =.此时必过点D （1，0）；当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）. 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点T 的坐标为()m ,9，事实上T 的轨迹是9=x ，可以看成是一条极线：15091=+y x ，所以它一定过定点D （1，0）.题4、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。

试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()2222x y 1a b 0a b +=>>。

…………………1分∵a 2=，c e a ==c =222b a c 1=-=。

……………… 4分∴椭圆C 的方程为222x y 14+=。

……………………………………… 5分（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y =+ 直线2A Q的方程是y =交点为(1S . …………7分,若P 1,,Q ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。

…………………8分以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。

事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=， 记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。

………… 9分设1A P 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1016y y .x 2=+设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由022y y ,42x 2'=--得2022y y .x 2'=- (10)1200126y 2y y y x 2x 2'-=-+-()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()221212m 12m m 4m 40x 2x 2---++==+-，……12分 ∴00y y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。

13分 解法二：（Ⅱ）取m 0,=得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，直线1A P的方程是y =+直线2A Q的方程是y =交点为(1S . ………………………………………… 7分 取m 1,=得()83P ,,Q 0,155⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,2=-交点为()2S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。

……………8分以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。

事实上，由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。

………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22yy x 2,x 2=--消去y,得()()1212y yx 2x 2x 2x 2+=-+-… ①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明12126y 2y ,x 2x 2=+-即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+……………… ②∵()1212226m 6m2my y 3y y 0,m 4m 4---+=-=++∴②式恒成立。

这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。

解法三：（Ⅱ）由22x y 14x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22my 14y 4,++=即()22m 4y 2my 30++-=。

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212222m 3y y ,y y m 4m 4--+==++。

…………… 6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22yy x 2,x 2=-- ……7分由()()1122y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………9分即()()()()21122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221212my y 3y y 23y y +-=+ 112211232m 2m 3y y m 4m 424.2m 3y y m 4--⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭………………………………12分这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。