v1.0 可编辑可修改主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意nE R ⊆，*m E 都存在。

（√ ）2、对任意nE R ⊆，mE 都存在。

（× ）3、设nE R ⊆，则*m E 可能小于零。

（× ）4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。

（√ ） 5、设A B ⊆，则**m A m B <。

（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。

（× ）7、**11()n n n n m S m S ∞∞==≤∑。

（√ ）8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。

（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。

（√ ）10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。

（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。

（√ ）12、设E 为nR 中的有界集，则*m E <+∞。

（√ ） 13、设E 为nR 中的无界集，则*m E =+∞。

（× ）14、E 是可测集⇔cE 是可测集。

（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞=，1n n S ∞=都是可测集。

（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。

（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。

（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。

（√ ） 19、若E =∅，则*0m E >。

（× ）20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。

（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。

（√ ） 22、在nR 中必存在测度为零的无界集。

（√ ）23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A -=。

（× ） 24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，nmR =+∞。

（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。

（× ）26、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，则12()m E E -=12mE mE -。

（× ）二、填空题1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。

2、若12,,,n S S S 为可测集，则1n i i mS = 小于或等于 1ni i mS =∑；若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集，则1n i i mS = 等于 1ni i mS =∑。

3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。

4、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，2mE <+∞，则12()m E E - 等于 12mE mE -。

5、设0x 为E 的内点，则*m E 大于 0。

6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。

7、m ∅= 0 ，nmR = +∞ 。

8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。

9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。

三、证明题1、证明：若E 有界，则*m E <+∞。

证明：因为E 有界，所以，存在一个有限区间I ，使得E I ⊂，从而m E m I I **≤=<+∞。

2、证明：若*0m E =，则E 为可测集。

证明：对任意A E ⊂，cB E ⊂，因为*0m E =，可得*0m A =，所以，*****()m B m A B m A m B m B ≤⋃≤+=，从而***()m A B m A m B ⋃=+，所以，E 为可测集。

3.设E 为[0，1]中的全体有理数，则0*=E m .（10分） 证明 因为E 为可数集， 记为 ,...},...,,{21n r r r E =， 对任意0ε，取 ,2,1,2,211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++n r r I n n n n n εε，显然, ∑∑∞=∞=∞===≤≤⊂1112*0,n n nn n n I E m I E εε所以 ,让ε→0得 0*=E m ，从而E 是可测集且0mE =.证毕.4、证明：有理数集Q 为可测集，且0mQ =。

证明：因为有理数集Q 可数集，从而0m Q *=，所以，Q 为可测集，且0mQ m Q *==。

5、证明：若E ，F 都是可测集，且mE <+∞，E F ⊆，则()m F E mF mE -=-；若mE =+∞，则上面的结论还是否成立。

证明：因为()F F E E =-⋃，且()F E E -⋂=∅，所以，()mF m F E mE =-+。

又mE <+∞，所以，()m F E mF mE -=-。

若mE =+∞，则上面的结论不一定成立。

6、若1R 中的区间为可测集，则1R 中的开集为可测集。

证明：由1R 中开集的结构得，1R 中的开集或为空集，显然是可测集；或为至多可数个互不相交的开区间的并集，而区间是可测集，至多可数个可测集的并集还是可测集，所以，它还是可测集。

综上所述，结论成立。

7.证明对任意可测集合A 和B 都有 ()().m A B m A B mA mB +=+证：因)(B A B A B A -=，又φ=-)(B A B A ，所以))(()(B A B A m B A m -=又B B A ⊂ ，故 )()(B A m mB B A B m -=-于是得)()(B A m mB mA B A m -+=.移项即证毕.8.证明Cantor 集合的测度为零.证：设cantor 集合C ，并设A 是[0,1]中被挖去的点的集合. A=2222121278(,)(,)(,)333333⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则A C-=]1,0[,由于A 为互不相交的开区间的并，故为可测集，于是C 亦为可测集.∵ ++==])32,31([])32,31([,1]1,0[22mA m 2223122122[1()]1333333=+++=+++=∴011]1,0[=---=mA m mC . 证毕9.设nR E ⊂，E A k ⊂且k A 是可测集， ,2,1=k ．若)(0)\(∞→→*k A E m k ，证明E 是可测集． 证：令 ∞==1k kAA ，则E A ⊂．因为),2,1( =k A k 是可测集，所以A 是可测集，又由)(0)\()\(0∞→→≤≤**k A E m A E m k可知0)\(=*A E m ．因此，A E \是可测集．而A A E E )\(=，故E 是可测集． 10.设{}n E 是[0,1]中的可测集列，若1n mE =，1,2,n =，证明：1()1n n m E ∞==．证明 令[0,1]E =，则0(m E ≤-1)(n n E m E ∞==1())Cn n E ∞=1(())n n m E E ∞==-1()n n m E E ∞=≤-=∑1()0n n mE mE ∞=-=∑．其中1mE =， 1n mE =，∴1()0n n m E E ∞=-=，∴11()(())n n n n m E m E E E ∞∞===--1()1n n mE m E E ∞==--=.。