其中 p ( x, t) (2 h) 2 e h h 自由粒子波函数
可以证明展开系数（见附录）
C( p) p * ( x, t) ( x, t)dx
当(x,t)未知时，C(p)难以直接求解。但C(p)与时间 无关，故可以用系统的初态求解：
C( p) p * ( x) ( x, 0)dx; t 0
右边
C( p)dp
p ( x, t) p' * ( x, t)dx
C( p) ( p p')dp C( p')
所以 C( p) p *(x, t) (x, t)dx 得证！
（I）式可以写成：
1
i px
( x, t)
C( p, t) p ( x)dp (2 h) 2
和任意，所以 ( Aˆ Bˆ ) B% ˆ A% ˆ
P74 习题3.3
解答：利用 [ p, xm] ihmxm1
[x, pn] ihnpn1
[ p, F ] Cmn[ p, xm ] pn
mn0
ih Cmnmxm1 pn
mn0
ih F x
同理有 [x, F ] ih F p
P75 习题3.14
h 2m 2t
2t
利用
ei 2 d
i
e 4
所以
(x,t)
mx2
m i i e e4 2ht
2 ht
附录：
系数 证明：
( x, t) C( p) p ( x, t)dp
C( p) p * ( x, t) ( x, t)dx
( x, t) C( p) p ( x, t)dp
n2
(n
1 2
)(n
1)
(a
Z )2
所以
r
[n2
(n
1 2
)(n
1)
(a
Z)2
1
(n2 n 2)2 (a Z )2]2
1
r
n2 4
n3 2
2
(a
Z)
r r n n2 n 1 2n 1
2
2
可见，n越大，r r 越小，量子力学的结果和Bohr
量子化“轨道”的图像越接近。
部分习题解答
P25 习题1.3
解: （a）、（b）两问参见课件。
（c） 由(a)知道：自由粒子波函数既是动量本征 函数也是能量本征函数或能量本征态(定态)，而 (x)是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能量 本征态的叠加，因此(x)=(x)代表非定态，也即 非能量本征态。
另解：
Hˆ
(
x)
h2 2m
100 (r, , )
1 er a
a3
基态能量
E1
e4
2h2
e2 2a
经典禁区
E1 V (r) 0
e2 e2 0 2a r
r 2a
（因为E=T+V，E－V<0意味着T<0，显然是经典理
论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效
应，穿越经典禁区）
基态电子处于经典禁区的概率
2
P 100 (r, , ) d
d2 d2x
1
2 h
e ipx
hdp
1 2m
p2
1 eipx
2 h
hdp
常数 ( x)
因此(x)=(x) 非能量本征态。
(d) 任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：
( x, t) C( p) p ( x, t) C( p) p ( x, t)dp p 1 i px i Et
园轨道（l = n－1）下的径向概率分布函数
n,n1(r) 2 Cr2ne2Zr na
最概然半径 rn 由下列极值条件决定：
d dr
n,n1 (r) 2
0
rn n2a Z
2
(b) r r nlm (r, , ) d
1 0r
nl (r) 2 r 2dr
4 0
Ylm (
,
)
2
d
0
nl (r)
P95 习题4.2
解: (a) 对两个全同的Boss子，体系波函数必须满足 交换对称性。
① 当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定 交换对称：
(1, 2) i (1)i (2), i 1, 2, 3 可能态数目 3
① 当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波
函数：
(1, 2)
1 2
dA 1 [Aˆ , Hˆ ] 1 ( ,[Aˆ , Hˆ ] )
dt ih
ih
1 [( , Aˆ Hˆ ) ( , HˆAˆ )]
ih
1 [E( , Aˆ ) (Hˆ , Aˆ )]
ih
1 [E( , Aˆ ) E( , Aˆ )] 0
ih
P115 习题5.5
解答: 氢原子基态波函数
[i
(1)
j
(
2)
i
(
2)
j
(1)],
i j
可能态数目 C32 3
所以，两个全同Boss子总的可能态数目6
(b) 对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换 反对称要求。
对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因
此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系
波函数：
(1, 2)
1 2
[i
1 i px
1
(2 h) 2 e h ( x)dx= (2 h) 2
则
(x,t)
(2 h)1
i ( px p2 t )
e h 2m dp
(2 h) e dp 1
i [( t p m x )2 mx2 ]
h 2m 2t
2t
( x, t) (2 h)1
e dp
i [( t p m x )2 mx2 ]
C( p, t)e h
dp
1
i px
C( p, t)
p * ( x) ( x, t)dx (2 h) 2
(x, t)e h
dx
课件第3章§1习题: 证明 ( Aˆ Bˆ ) B% ˆ A% ˆ
解答：由转置算符的定义得到
( , Aˆ Bˆ ) (*, Aˆ Bˆ *)
( Bˆ * , A% ˆ ) ( A% ˆ **, Bˆ *) ( , B% ˆ A% ˆ )
（I）
p' * ( x, t) ( x, t) p' * ( x, t) C( p) p ( x, t)dp
p' *(x, t) (x, t)dx p' *(x, t)dx C( p) p(x, t)dp
p' *(x, t) (x, t)dx p' *(x, t)dx C( p) p(x, t)dp
1
a3
e2r ar2dr
4
d
2a
0
13e4 0.238
注意：结果中e非指电子电荷，而是指数e。
P115 习题5.6
解答: (a) 类氢离子中电子的波函数
nlm
(r,
,
)
Rnl
( r )Ylm
(
,
)
1 r
nl
( r )Ylm
(
,
)
Rnl (r) Nnl le 2F(n l 1, 2l 2, )
* m
lˆy
mdx]
0
类似地可以证明 ly 0
P75 习题3.16
解：显然态，非lz算符和l2算符的本征态 (a) lz的可能测值
lz1 mh h, m 1 相应本征态Y11 lz2 mh 0, m 0 相应本征态Y20
相应的测量概率：
lz1 : c1 2 ; lz2 : c2 2
平均值：
2l
,
l n1
N2 n,n1
4Z3 a3n4 (2n 1)!
r (n2 n 2) a Z
对于氢原子“园轨道”的平均半径
r (n2 n 2) a
例如基态 r1 3 2 a 和例题1的 (r2 r 2 )2
与(b)类似地
r2
C
(2n 2)! (2Z na)2n3
解：设lz算符的本征态为m，相应的本征值mћ
lx
* m
lˆx
m
dx
1 ih
* m
(lˆylˆz
lˆz lˆy
)
mdx
1 [ ih
* m
lˆy
lˆz
mdx
* m
lˆz
lˆy
m
dx]
1 [mh ih
* m
lˆyz
mdx
(lˆz m ) * lˆy mdx]
1 [mh ih
m* lˆyz mdx mh
2
rdr
对于园轨道(l = n－1)
径向概率密度
n,n1(r) 2 Cr2ne2Zr na
r C r e 2n1 2Zr nadr 0
r C r e 2n1 2Zr nadr 0
利用积分公式
0
xne
xdx
n!
n1
得到
r
C
(2n 1)! (2Z na)2n2
而
C
N
2 nl
2Z na
lz lz1 c1 2 lz2 c2 2 h c1 2
(b) l2的可能测值
l12 l(l 1)h2 2h2, l 1 相应本征态Y11 l22 l(l 1)h2 6h2, l 2 相应本征态Y20
相应的测量概率：
l12 : c1 2 ;
平均值：
l22 : c2 2
l 2 l12 c1 2 l22 c2 2 2h2 c1 2 6h2 c2 2