2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______4. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a c d b=_______【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______ 【答案】()13xx R ∈6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【答案】-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

【答案】18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x a f x x x a ≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。

12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中1,21,2,...i j k ==，，)，则K 的最大值为【答案】6【解析】根据向量减法的运算规律，可转化为以向量终点为圆心，作半径11r =和22r =的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，k 的最大值为 6.二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）13、下列不等式恒成立的是（）A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab +≥-D 、2a b ab +≤【答案】B14、已知直线l 的解析式为3410x y -+=，则下列各式是l 的参数方程的是（）A 、4334x t y t =+⎧⎨=-⎩B 、4334x t y t =+⎧⎨=+⎩C 、1413x t y t =-⎧⎨=+⎩D 、1413x t y t =+⎧⎨=+⎩【答案】D15、在棱长为10的正方体.1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，点P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线交正方体于P 、Q 两点，则Q 点所在的平面是（ ） A.11AA B B B. 11BB C C C. 11CC D D D. ABCD 【答案】D 【解析】延长BC 至M 点，使得=2CM 延长1C C 至N 点，使得3CN =,以C M N 、、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H ， 连接1A P PH HC 、、，则易得四边形1A PHC 为平行四边形， 因为点P 在平面11ADD A 内，点H 在平面11BCC B 内， 且点P 在平面ABCD 的上方，点H 在平面ABCD 下方， 所以线段PH 必定会在和平面ABCD 相交， 即点Q 在平面ABCD 内16.、若存在a R ∈≠且a 0,对任意的x R ∈，均有()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：()1:q f x 单调递减，且()0f x ＞恒成立；()2q f x ：单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是()f x 具有性质P 的充分条件是（）A 、只有1qB 、只有2qC 、12q q 和D 、12q q 和都不是 【答案】C【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P 的条件是，存在a R ∈≠且a 0， 则对于10q a ，＞时，易得函数()f x 具有性质P ；对于2q ，只需取0a x =，则0x a x x x +=+＜，()()00f a f x ==，所以()()()()()0=f x a f x x f x f x f a +=++＜，所以此时函数()f x 具有性质P . 三、解答题（本题共5小题，共计76分） 综合题分割17、已知边长为1的正方形ABCD ，沿BC 旋转一周得到圆柱体。

（1）求圆柱体的表面积； （2）正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转2π到11A BCD ，求1A D 与平面ABCD 所成的角。

【答案】（1）4π； （2）3arcsin318、已知f(x)=sin (0)x ωω>.（1）若f(x)的周期是4π，求ω，并求此时1f ()2x =的解集； （2）已知=1ω，2g()()()()2x f x x f x π=--，x 0,4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求g(x)的值域.【答案】（1）1=2ω，5x x|x=4x 4,33k k k Z ππππ⎧⎫∈+=+∈⎨⎬⎩⎭或; （2）1-,02⎡⎤⎢⎥⎣⎦19、已知：=x q ν，x (0,80]∈，且801100-135(),(0,40)=(0)3(40)85,[40,80]x x k k x x ν⎧∈⎪>⎨⎪--+∈⎩， （1）若v>95，求x 的取值范围；（2）已知x=80时，v=50，求x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值。

【答案】（1）80x (0,)3∈； （2）480x 7=时，max 28800q =720、双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。

（1）若A x =b ；（2）若b =2C 与x 轴交点记为12F F 、,P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ；（3）过点2 (0,2)2bS+且斜率为2b-的直线l交曲线Γ于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围。

【答案】（1）2；（2）1116；（3）(625,)++∞；【解析】（1）若6Ax=，因为点A为曲线1C与曲线2C的交点，∵222222144AAx ybx y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得22yb⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴2b=（2）方法一：由题意易得12F F、为曲线的两焦点，由双曲线定义知：212PF PF a=-，18,24PF a==，∴24PF=又∵5b=，∴126F F=在12PF F∆中由余弦定理可得：2221212121211cos216PF PF F FF PFPF PF+-∠==⋅⋅方法二：∵5b=，可得2222145(3)64x yx y⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得(4,15)P，（3）设直线24:22b b l y x +=-+可得原点O 到直线l的距离d ===所以直线l 是圆的切线，切点为M, 所以2OM k b =，并设2:OM l y x b =，与圆2224x y b +=+联立可得222244x x b b+=+， 所以得,2x b y ==，即(,2)M b ，注意到直线l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行， 所以只有当2A y 〉时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，得422A b y a b =+， 所以有4244b b〈+，解得22b 〉+，或22b 〈- 又因为由上的投影可知：所以21.有限数列{}n a ，若满足12131||||...||m a a a a a a -≤-≤≤-，m 是项数，则称{}n a 满足性质p .（1） 判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p ，请说明理由.（2） 若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质p ，求q 的取值范围.（3） 若n a 是1,2,...,m 的一个排列1(4),(1,2...1),{},{}k k n n m b a k m a b +≥==-都具有性质p ，求所有满足条件的{}n a .【答案】（1）对于第一个数列有|23|1,|53|2,|13|2-=-=-=，满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有|34|1,|24|2,|54|1-=-=-=不满足题意，该数列不满足性质p .（2）由题意可得，{}111,2,3,...,9n n q q n ---∈≥ 两边平方得：2-2-1212+1n n n n q q q q -+-≥整理得：()11(1)120n n q q q q --⎡⎤-+-⎣⎦≥当1q ≥时，得1(1)20n q q -+-≥，此时关于n 恒成立， 所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以(2)(1)0q q +-≥， 所以q ≤-2或者q ≥l ，所以取q ≥1.当01q ＜≤时，得1(1)2n q q -+-≤0, 此时关于n 恒成立， 所以等价于2n =时(1)20q q +-≤，所以(2)(1)0q q +-≤， 所以21q -≤≤,所以取01q ＜≤。

当10q -≤＜时，得11(1)20n n q q q --⎡⎤+-⎣⎦≤。

当n 为奇数的时候，得1(1)20n q q -+-≤, 很明显成立， 当n 为偶数的时候，得1(1)20n q q -+-≥，很明显不成立， 故当10q -≤＜时，矛盾，舍去。

当1q -＜时，得11(1)20n n q q q --⎡⎤+-⎣⎦≤。

当n 为奇数的时候，得1(1)20n q q -+-≤, 很明显成立， 当n 为偶数的时候，要使1(1)20n q q -+-≥恒成立，所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以()()021q q +-≥，所以q ≤-2或者q ≥1，所以取q ≤-2。