第14课时曲线与方程
【学习目标】
1•了解曲线方程的概念
2 •能根据曲线方程的概念解决一些简单问题
【问题情境】
前面我们用f(x,y)=O或y=f(x)来表示一条曲线，例如直线的方程，圆的方程以及圆锥曲线
的方程，那么什么是曲线的方程？
1、曲线的方程，方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点轨迹)上的点与一
个二元方程f (x, y)=0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是___________________ •
(2) ________________________________________________ 以方程f( x, y)=0的解(x,y)为坐标的点都在_______________________________________________ ，那么，方程f (x, y)=0叫做曲
线C的方程，曲线C叫做方程f(x, y)=0的曲线.
1.点与曲线
如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P(x o, y o)在曲线C上的充要条件是f (x o, y o)=0 •
【合作探究】
问题1:观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？
问题2…若曲线C的方程为k x2+2x+(1+k) y+3=0,(k € R),则曲线C过定点_____________ 问题3.方程x2+xy-x=0表示的曲线是 ________________ .
问题4•至俩个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_____________________ .
例1•判断下列结论的对错，并说明理由：
(1)过点A ( 3,0 )且垂直于x轴的直线的方程为x=3;
(2)到x轴距离为2的点轨迹方程为y=2;
(3)到两坐标轴距离乘积等于k的点的轨迹方程为xy=k.
例2. (1)判断点(2,2迈),(3,1)是否在圆x2y216上；
(2)已知方程为x2y225的圆过点C ( *''7 , m ,求m的值.
例3.设圆C： (x 1)2y2 1，过原点0作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹
方程.
变式：过P( 2,4 )作两条相互垂直的直线「J,若l i交x轴于A点，交y轴于B点, 求线段AB的中点M的轨迹方程.
例4•已知一座圆拱桥的跨度是36m圆拱高为6m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴，AB的垂直
y
平分线为y轴，建立直角坐标系x O y (如图)，求圆拱的方程.*
1•已知曲线C :xy 3x ky 2 0,当k _______ 时，曲线C经过点(2, 1).
2•已知命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y)=0的解”是正确的，判断下列命题是否正确；
(1 )满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上; (2)方程f(x,y)=0是曲线C的方程；
(3)方程f(x, y)=0所表示的曲线不一定是 C. 3•下列各组方程中，哪些表示相同的曲线？
(1 ) y2x与y x ；(2) y x与' 1 ；(3) y lg x2与y 2lg x ； ( 4 )
x
y x 0 与x2y20.
4•证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25.
5.A ABC 中，|BC|=2, 1 AB 1 = m(m > 0),求定点 A 的轨迹方程.
|AC|
【基础训练】
第14课时
曲线与方程
1•若方程 2 ax + by = 4的曲线经过点 A(0,2)
1 ■ B 2， \l'3 ，贝V a = ，b = 2. x,y R,那么"x
2 y 2 1” 是“ xy x y ”的
条件. F(x, y) 0的解”是正确的，则下列命题中正 确的是
(1) 方程 F(x,y)
(2) 方程 F(x,y)
0的曲线是C ； 0的曲线不一定是C ； (3)方程 F(x,y)
0是曲线C 的方程； (4)以方程F(x, y)
0的解为坐标的点都在曲线 4.到直线4x + 3y — 5 = 0的距离为1的点的轨迹方程为
5.若曲线y 2 xy 2x k 0通过点(a, a)( a R ),则k 的取值范围是
6•求方程|x| + |y| = 1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为
【思考应用】
7. (1)过P(0，— 1)且平行于x 轴的直线I 的方程是 |y| = 1吗？为什么?
⑵设A(2,0) , B(0,2)，能否说线段AB 的方程是
x + y — 2 = 0?为什么? &已知动点M 到A(2,0)的距离等于它到直线 x 1的距离的两倍，求点 M 的轨迹方程 “曲线 C 上的点的坐标都是方程
3 .若命题
9.已知ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(3,0),(3,0)，边AC, BC所在直线的斜率之
1
积为一，求顶点C的轨迹方程.
4
10. 求点A(1 , 1)到直线x+2y=3的距离相等的点轨迹方程，并判断轨迹是什么图形？
【拓展提升】
11. 已知两定点A( —2,0) , B(1,0),如果动点P满足PA= 2PB,求点P的轨迹所包围的图形的面积.
12. 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy = ± k.。