湖北省宜昌市第一中学高一年级2016学年度秋季学期文科数学试题★ 祝考试顺利 ★时间：120分钟 分值150分 第I 卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设R U =，{}12>=x x A ，{}0log 2>=x x B ，则U A C B ⋂=（ ）C A ．{}0<x x B ．{}1>x x C ．{}10≤<x x D ．{}10<≤x x 2．已知等差数列{}n a 的前13项之和为134π，则678tan()a a a ++等于（A ）A ．-1BC ．1 3．设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（ D ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >> 4．已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

其中正确命题的个数是（ ）AA ．0B ．1C ．2D ．35．△ABC 中D 为BC 边的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则在下列向量中与AD →同向的向量是( C )A.a |a |＋b |b |B.a |a |－b |b |C.a ＋b |a ＋b | D ．|b |a ＋|a |b 6．已知函数2()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是（ C ） A ．函数()f x 在区间[,]42ππ上为增函数B ．函数()()y f x g x =+的最小正周期为2πC ．函数()()y f x g x =+的图像关于直线8x π=对称D ．将函数()f x 的图像向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图像。

7.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )CA ．24B ．48C ．60D ．84 8.已知函数()21,xf x a b c =-<<且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是( )DA ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．2a ＋2c＜29．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果2k A ∉A ，那么k 是A的一个“酷元”，给定{}2lg(36) S xN y x=∈=-，设集合M由集合S中的两个元素构成，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）CA．3个 B．4个 C．5个 D．6个10.如图是某几何体的三视图，当xy最大时，该几何体的体积为（）AA.15π21512B．π112C．15π154D．15π1411．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有*(1,)n n n N>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a，则233445201520169999a a a a a a a a++++=（）CA．20122013 B．20132012 C．20142015D．2014201312.已知函数()f x是奇函数，当0x<时，()2f x x x=-+.若不等式()2log af x x x-≤（0a>且1a≠）对任意的20,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a的取值范围是（）CA.10,4⎛⎤⎥⎝⎦B.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤⎥⎝⎦D. ()11,1,42⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦第II卷（非选择题）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.已知幂函数()y f x=的图像过点()3,3,则4log(2)f的值为．1414.若tanα＝2，则sinα－3cosαsinα＋cosα的值是．－1315.湖面结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24cm，深为6cm的空穴，那么该球的半径为 cm．1516.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是________万元．27三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）设关于x的函数2()lg(23)f x x x=--的定义域为集合A，函数(),(04)g x x a x=-≤≤，的值域为集合B.（1）求集合A ，B ； （2）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围.解：（1）A=2{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或…2分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..…….…...4分（2）∵A B B =，∴B A ⊆．∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a|5a >或3a <-}．….…..10分18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nnn a a b =求数列{}n b 的前n 项和n T . 解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，∵356,15S S ==∴11133(31)62155(51)152a d a d ⎧+⨯⨯-=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯-=⎪⎩即11223a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ ∴{}n a 的通项公式为1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）得22n n n a n a n b ==∴231123122222n n n n nT --=+++++ ① ①式两边同乘以12，得234111*********n n n n nT +-=+++++ ②①-②得23111111222222n n n nT +=++++-111111*********n n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=---∴11222nn n n T -=-- 19．（本小题满分12分）如图所示，,A B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<，C 点坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA OQ S ⋅+的最大值； (2)若//CB OP ，求sin(2)6πθ-的值．解 (1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)．所以O A →·O Q →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π， 所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1.(2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)，因为CB ∥OP ， 所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D 在直线AC 上，且AD=4DC. （1）求BD 的长；（2）求sin ∠CBD 的值.（I ）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3， 所以34cos ,sin 55C C ==，AC=5， 又因为AD=4DC ，所以AD=4，DC=1.在△BCD 中，由余弦定理， 得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以410BD =.………6分 （II ）在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以410154sin 5CBD=∠， 所以10sin 10CDB ∠=.……………………12分21.（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，,F M 分别是棱,PB AC 的中点，E 为PC上一动点.(1) 若//AF 平面MEB ，试确定点E 的位置，并证明你的结论.(2)在满足（1）的条件下，求三棱锥C MEB -与三棱锥C PAB -的体积比. 解：（1）E 为PC 上靠近C 的三等分点； （2）1622.（本小题满分12分）已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合{}{}(),1,1,2E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=+⋅+-，判断λ与E 的关系；(3)当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求实数m ，n 的值．解析 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．∴x ＋1x ＋ax2＝－x ＋1－x ＋ax2.∴2(a ＋1)x ＝0，∵x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(2)由(1)可知：f (x )＝x 2－1x 2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34，∴E ＝{0，34}．∵λ＝lg 22＋lg2lg5＋lg5－14＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5－14＝lg2＋lg5－14＝lg10－14＝34，∴λ∈E .(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈[1m ，1n ]，∴f (x )在[1m ，1n]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧f1m＝2－3m ，f1n＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n .∴m ，n 为x 2－3x ＋1＝0的两个根．又由题意可知：1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.。