线的条数为（ ）．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】 【分析】 结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与 A1B 成 60°角的异面直线一一列出，即得答案． 【详解】在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线 A1B 异面且夹角成 60°的直线有： AD1，AC，D1B1，B1C，共 4 条． 故选 B．
3
2
故选 D.
【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．
4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《 九章算术注》 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几
何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 π ： 4 . 若正
方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为 (
7
10.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝ 3 -1 ，则角 C= 4
（）
A. C＝15°或 C＝45°
B. C＝15°或 C＝30°
C. C＝60°或 C＝45°
D. C＝30°或 C＝60°
【答案】A
【解析】 【分析】 直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出 B 的值.
【详解】二项式（ x
1 x
）n
的通项为
T r 1 C n rx （ r 1 x） n r C n rx2 r （ n0 r n ）
（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项 n2r n为正偶数 x
n4 n为正偶数，
n 为正偶数推不出 n 4 ∴ n 4 是（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
c o s A c o s C s i n A s i n C 2 s i n A s i n C
c o s ( A C ) 2 s in A s in C
12 31 3，
2
42
故 AC30或 AC300，
因此， C15或 C45．
故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，考查余弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理
由平方差公式，化简结合“蝶型函数”. 可判断 ② ．
5
【详解】由 ysinx，设 gxsinxx，导数为 cosx10，即有 x 0，gx 0；x 0 时，gx 0； 设 hxsinxx，其导数为 cosx10， x 0时， hx 0， x 0 时， hx 0， 可得 yxyx0恒成立，即有 ysinx为“蝶型函数”；
x, x 1 转化为 h( x) 与 ( x) 有两个交点时，求实数 a 的取值范围，
如下图， a 1时， h( x) 与 ( x) 相切于 (1,1) 点，
当 a 0 或 0a1时， h( x) 与 ( x) 有两个交点，故选 B.
4
【点睛】本小题主要考查函数零点问题的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思
y
x
1的全部，故错误；
C
选项，等价于
x 1
y 1 0 x2 y2 0
或1x2y20，
x y 1 0
∴
1
x2
y2
表示折线
0
y
x
1在双曲线外部（包含有原点）的部分，
1x2y20表示双曲线 x 2 - y2 1 ，符合题中的图象，故 C 正确.
x y 1 0 x y 1 0
D
选项，等价于
由 x 2 1 xx 2 1 x x 2 1 x 2 1 0 ，可得 y x2 1为“蝶型函数”．
故选 B． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题．
8.如图，在正方体 A B C D A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 A1 B 异面且夹角成 6 0 的直
f x 为“蝶型函数”，已知函数： ①ysinx； ②y x21，下列结论正确的是 (
)
A. ① 、 ② 均不是“蝶型函数”
B. ① 、 ② 均是“蝶型函数”
C. ① 是“蝶型函数”； ② 不是“蝶型函数”
D. ① 不是“蝶型函数”： ② 是“蝶型函数”
【答案】B 【解析】 【分析】
由 gxsinxx， hxsinxx，求得导数判断单调性，结合“蝶型函数”可判断 ① ；
【答案】D 【解析】 【分析】 对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项.
【详解】画出一个正方体 A B C D E F H G 如下图所示.平面 ABCD平面 ADHE，而 EH//AD，即平 行于这两个垂直平面的交线，有 EH/ / 平面 ABCD，故 A 选项命题是真命题，且 D 选项命题是假命题.根 据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面 ADHE和平面 ABFE同时垂直于平 面 ABCD，它们的交线 AE 也垂直平面 ABCD，故选项 C 命题是真命题.综上所述，本题选 D.
故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用 向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 力，属于中档试题.
12.已知点 E 是抛物线 C :y22px(p0)的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线 C 的焦点，点 P 在抛物
【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题.
3
1, ? x 1 6.已知函数 f(x)ax2x1，g(x) x, ? 1 x 1?，若函数 yf(x)g(x)恰有两个零点，则实数 a
1, ? x 1
的取值范围为（ ）
A. (0,)
B. (,0) (0,1)
【详解】
f
x
3 x2 2
定义域为：
x x
2
， fxx232f(x)
函数为偶函数，故 A 正确，B 错误
1
当 x 2且 x 2 时， f(x)，C 错误
f(1)3, f(2)3 ，不满足 y f x是减函数，D 错误
2
故选 A
【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
对 sinAsinC＝ 3 -1 进行变换，最后求出结果． 4
【详解】因为 ( a b c ) ( a b c ) a c ，
所以 a2c2b2 a c．
由余弦定理得， cosBa2c2b2 1，
2ac
2
因此 B120．
所以 AC60，
所以 c o s ( A C ) c o s A c o s C s i n A s i n C
3.已知向量 a
和b
的夹角为 3
，且 a2, b 3，则 (2ab)(a2b)（
）
A. 10
B. 7
C. 4
D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律直接展开 2ab a2b，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．
【详解】 2ab a2b 2a23a? b2b2＝8+3 a b cos －18＝8+3×2×3× 1 －18＝－1，
高三理科数学模拟试卷
一．选择题（每小题 5 分，满分 60 分）
1.“
n
4
”是
x
1 x
n
的二项展开式中存在常数项”的（
）C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是 基础题．
6
9.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）．
A. x y 11 x 2 y 2 0
B. xy 1 1 x2y2 0
C. xy 1 1x2y20
D. xy 1 1x2y20
解掌握水平，属于基础题型．
11.设点 M
、N
均在双曲线 C:
x2 4
y2 3
1上运动，F
1
、F
2
是双曲线 C
的左、右焦点，则 M F1M F22M N
的最小值为（ ）
8
A. 2 3
B. 4
C. 2 7
D. 以上都不对
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算，化简得 M F 1 M F 2 2 M N 2 M O 1 2 M N 2 N O ，结合双曲线的性质，即可求解.
cosPEF
【详解】由题意得，准线 l : x
p 2
，
E
p 2
,
0
，
F
p 2
,
0
，过
P
作 PHl ，垂足为 H
，则由抛物线
定义可知 PHPF，于是 sinEFPPE P E 1 1 ， ycosx在 0,
sinFEP PF P Hcos E P Hcos P E F
9
上为减函数， 当 PEF取到最大值时（此时直线 P E 与抛物线相切），计算可得直线 P E 的斜率为1 ，从
C. (,1)(1,) 2
D. ( ,0) (0,2)
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为 f x 和 g x 函数的图像有两个交点来解决.为了便于讨论，两个函数都加上 x 1 后，再画
出相应的图像.通过图像求得 a 的取值范围. x 2, x 1
【详解】令 h (x ) f(x ) x 1 a x 2 ，(x)g(x)x 1 2x 1, 1 x 1