1
2
,
2 nd ( 2 k 21 2 7 2 k 2 1 1 5
即： 10 k1 5 14 k2 7
求得：
k1 3 ,
k2 2
2 k1 1 d 1 673nm 4n
例题 4-7：
白光垂直入射在肥皂膜上，观察反射光，在可见光中对λ1= 600 nm 的光 有一干涉极大，而对λ2 = 450 nm的光有一干涉极小。肥皂膜折射率为 n = 1.33，求满足以上条件时，肥皂膜的最小厚度。
解：设半径为r处空气膜厚度为e ：
2e

2
( 2k 1 )

2

2e k
R2 R1
2 R1 r 2 ( R1 e1 )2 2 R2 r 2 ( R2 e 2 )2
r 2 2 R1e1 2 r 2 R2 e 2
解：
细丝处正好是第8级暗条纹中心， 由暗纹条件：
L 2d
2 ( 2k 1 )

2
λ
k = 8 时：
D k

2
D
2.36 m
例题 4-10：
一精细加工的工件与平板玻璃形成劈尖。当单色光正入射时，看到上 图所示的条纹。问：⑴ 工件表面有凹槽还是凸槽？⑵ 槽的深度（或 高度）是多少？
解： 未充液体时第10环的直径为：d 10
1 2 ( k )R 2
1 ( k ) R 2 充了液体后第10环的直径为： '10 2 d n

d 10 n d'10
d 10 2 n( ) 1.215 d'10
例题 4-12：
图示平凸透镜的凸面是一标准样板，其曲率半径 R1 = 102.3 cm。另一凹 面镜的凹面是待测面，半径为 R2。用波长为λ= 589.3 nm 的纳黄光垂直 入射，测得牛顿环第 4 暗环的半径 r = 2.25 cm。求 R2 的大小。
2 n1d 1

2

i=0
(k 1)
得： d 1

4 n1
67.3nm
2 n2 d 2

2

(k 1)
共 13 层
n1 n2
d1 ZnS d2 MgF2
得： d 2

4 n2
n2 n1 n2 n1
d2 MgF2 d1 ZnS d2 MgF2 d1 ZnS
114.6 nm
rk2 m rk2 ( k m )R kR mR
2 2 rk2 m rk2 Dk m Dk R m 4 m
例题 4-9：
把直径为D的细丝夹在两块平板玻璃的一边，形成空气劈尖。在 λ=589.3nm 的钠黄光垂直照射下，形成如图上方所示的干涉条纹。求 D为多大？
解： ⑴ 看到圆形等厚干涉条纹； ⑵ 干涉亮纹满足（无半波损失）：
2 nd k k 2 nd

4.8
(k 0 ) (k 1) (k 2) (k 3) (k 4 )
取： kmax 4 得：
0.0 nm 250.0 nm k d 500.0 nm 2n 750.0 nm 1000.0 nm
r 2 R 2 ( R d )2 2 Rd d 2 2 Rd
r 2 Rd ( L
牛顿环仪

2
)R
明环半径
暗环半径
r
1 ( k )R 2
r
kR
O点处：d = 0、 Δ L = λ /2 —→ 暗斑
以O为圆心的一 组同心圆环
牛顿环可应用于测量透镜曲率半径、检查表面平整度等。 例：测量透镜的曲率半径 R 。 设测得 k、k+1 级暗环的半径为 rk、rk+m，则
e2
e
r
e1
r2 1 1 1 e e1 e 2 ( ) k 2 R1 R2 2 R1 r 2 解得： R2 2 102.79cm r kR1
增透膜：
在透镜表面镀上折射率为n的透明薄膜，并 使n1<n<n2，波长为 λ 的入射光垂直入射。
i=0 n1 d n
n2
当 L 2 nd ( 2 k 1 ) 时，反射光被削弱，透射加强。 取 k 0 ，得 nd
例： ( 0.9 )20 0.12 , ( 0.99 )20 0.82
d k 2 2 338 nm 2n
k1 2 ,
k2 2
例题 4-8：
平板玻璃（ n0 = 1.50 ）表面有一展开成球冠状的油膜（ n = 1.20 ），用 波长λ= 600nm的单色光垂直入射，从反射光中观察干涉条纹。 ⑴ 问看到的干涉条纹是什么形状的？ ⑵ 若油膜最厚处厚度为1200nm时，可看到几条亮纹？亮纹处油膜多厚？
解：
设膜的厚度为d，则：
1 2 nd 1 k11 2 nd ( k1 )1 2 2 2 nd 2 ( 2 k 1 ) 2 2 nd k 2 2 2 2 2 1 k1 2 2 3 k2 1 4
即： 4 k1 2 3k2 求得：

4
2
nd：光学厚度
例：n1 = 1.0，n2 = 1.52，n = 1.38（MgF2），λ = 5500Ǻ（白 光中心波长）。 则增透膜最小厚度 可以证明：当 n
d

4n
0.10 m
n1 n2 时（如 n
1.52 1.23 ),
反射光完全消失。
增反膜（高反膜）：
如He—Ne激光器谐振腔上的反射镜通过在玻璃上交替镀上高折 射率材料ZnS（n1=2.35）和低折射率材料MgF2（n2=1.38），可 对λ=6328Ǻ的单色光反射率大于99% 。
d
2 nd 2 ( 1 sin r ) cos r 2
b''
2 nd 1 sin r
2

2
2 1 2
n1 sin i n sin r n1 n n2

2
即： L 2d n n sin i
2
L 2d n n sin i
2 2 1 2
d n
2
对空气劈尖： l

2 sin
暗条纹 α
dk
dk+1
可见：α大则 l 小，α小则 l 大。
劈尖：平行等间隔条纹
⑵ 牛顿环：
C
设单色光垂直入射（i = 0），n = 1
k L 2 nd 2 k 1 2 2
λ
R（很大）

明环
暗环
O
r
d
§4.3 薄膜干涉 （分振幅法）
1、光程差公式：
L n ( AC CP ) n1 AB
2 nAC n1 AP sin i
S

2
n1
a
a'
i
A

2
B i r C a''
b' P
L
2n
d sin r 2d n sin r cos r cos r 2
n
n2

2
n1
S
a
i B i
a'
b' L
讨 论 ⑴ 干涉条件：
A
P r C
a'' b''
n
d
L k
L ( 2 k 1 )
2
— 相长干涉 — 相消干涉
n2
⑵ n1 < n > n2 或 n1 > n < n2 时，a'与b'之间有半波损失。 n1 > n > n2 或 n1 < n < n2 时，a'与b'之间无半波损失。 ⑶ 当i不变、d变，则d相同处出现同一条纹 —— 等厚干涉； 当i变、d不变，则i相同的入射光产生同一条纹 —— 等倾干涉； ⑷ 透射光 a'' 、b''间的光程差与 a' 、b'间的光程差相差λ / 2。
玻璃 n=1.52
例题 4-6：
波长可连续变化的单色光垂直入射于折射率为n1=1.30的油膜上，油膜覆 盖在折射率为n2=1.50的玻璃板上。若波长为λ1= 500nm 和λ2= 700nm的反 射光完全相消。求油膜的最小厚度。
解：
设膜的厚度为d，则（无半波损失）：
2 nd ( 2 k1 1 )
解： ⑴ 由条纹突起的方向可判断是凹槽。 ⑵ 由下图：
a sin h b sin sin sin a h b 2
a
h
a
b

2

2b
α
b a
h
dk
解得：
dk+1
h
例题4-11：
当牛顿环装置中的透镜与玻璃板间充以某种液体时，牛顿环中第 10个亮 环的直径由 1.40 cm 变为 1.27 cm ，求这种液体的折射率。
2、等厚干涉：
⑴ 劈尖干涉： 设单色光垂直入射（i = 0）
k L 2 nd 2 k 1 2 2
λ
α
n

明条纹 暗条纹
∵存在半波损失，∴棱边处为暗条纹。 条纹间距： l
n d sin 2 sin 2 n sin
l k k+1